Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

84 Ãëàâà òðåòüÿ
ñîîòâåòñòâèÿ
p
q
...
...
Te
αα
ββ
→
1
1
, îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì (3.4.8).
Òàêîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà, âûäâèãàåò íà ïåðåäíèé ïëàí çàêîí ïðå-
îáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Íàì æå â äàëüíåéøåì, íàïðèìåð, ïðè îïðåäå-
ëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðîâ íà ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ
()
q,pC , íàäî, ïðåæäå âñåãî, ïðåäñòàâëÿòü ñåáå òåíçîð êàê ýëåìåíò âåê-
òîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
()
q,pC .
§3.5. Òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà
Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà îñíîâàííûé íà
ñëåäóþùåì çàìå÷àíèè. Ïóñòü íàì çàäàí ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç
p
êî-
âåêòîðîâ è
q
âåêòîðîâ
=
q
p
yyyy
,...,,
~
,...,
~
1
1
ξ
. (3.5.1)
Ìû ìîæåì äëÿ òåíçîðà
()
qpT, (3.2.1) îïðåäåëèòü çíà÷åíèå íà
ξ
ïî ôîðìóëå
()
∑
=
j
q
j
q
j
j
p
p
j
yxyxxyxyT
~
...
~~
...
~
1
1
1
1
ξ
. (3.5.2)
Åñëè çàêðåïèòü âñå àðãóìåíòû
y
~
,
k
y
êðîìå îäíîãî, òî ïîëó÷àåì
ôóíêöèþ ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè îò êîâåêòîðà èëè âåêòîðà, è âñå
òàêèå ôóíêöèè ëèíåéíû.
Ïóñòü íàì çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ
()
=
q
p
yyyyTT
,...,,
~
,...,
~
1
1
ξ
(3.5.2)
îò
p
êîâåêòîðîâ è
q
âåêòîðîâ, ëèíåéíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó àð-
ãóìåíòó ïðè çàêðåïë¸ííûõ îñòàëüíûõ (òàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëè-
ëèíåéíîé). Òîãäà, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí,
òåíçîð
()
qpT,, îïðåäåëÿþùèé
()
ξ
T ïî ôîðìóëå (3.5.1) è ìîæíî áûëî
84                                                                       Ãëàâà òðåòüÿ

                              α ...α
ñîîòâåòñòâèÿ     e → Tβ1 ...1 βq p , îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì (3.4.8).
     Òàêîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà, âûäâèãàåò íà ïåðåäíèé ïëàí çàêîí ïðå-
îáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Íàì æå â äàëüíåéøåì, íàïðèìåð, ïðè îïðåäå-
ëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðîâ íà ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ
C ( p , q ) , íàäî, ïðåæäå âñåãî, ïðåäñòàâëÿòü ñåáå òåíçîð êàê ýëåìåíò âåê-
òîðíîãî ïðîñòðàíñòâà             C (p , q) .


      §3.5. Òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà

     Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà îñíîâàííûé íà
ñëåäóþùåì çàìå÷àíèè. Ïóñòü íàì çàäàí ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç p êî-
âåêòîðîâ è    q âåêòîðîâ
                        1      q
                                  
     ξ =  ~y ,..., ~y , y,..., y  .                                        (3.5.1)
         1          p            
     Ìû ìîæåì äëÿ òåíçîðà                  T ( p, q ) (3.2.1) îïðåäåëèòü çíà÷åíèå íà ξ
ïî ôîðìóëå

     T (ξ ) = ∑ ~
                          1                p       1           q
                y x j ... ~                    ~
                                               x y ... ~
                                                 j       j
                          y xj                         x y .                 (3.5.2)
                      1                p       1           q
                 j

                                                       k
     Åñëè çàêðåïèòü âñå àðãóìåíòû                  ~
                                                   y , y êðîìå îäíîãî, òî ïîëó÷àåì
ôóíêöèþ ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè îò êîâåêòîðà èëè âåêòîðà, è âñå
òàêèå ôóíêöèè ëèíåéíû.
     Ïóñòü íàì çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ

                                      
     T (ξ ) = T  ~
                              1      q
                  y ,..., ~
                          y , y,..., y            (3.5.2)
                1        p            
îò p êîâåêòîðîâ è q âåêòîðîâ, ëèíåéíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó àð-
ãóìåíòó ïðè çàêðåïë¸ííûõ îñòàëüíûõ (òàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëè-
ëèíåéíîé). Òîãäà, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí,
òåíçîð   T ( p, q ) , îïðåäåëÿþùèé T (ξ ) ïî ôîðìóëå (3.5.1) è ìîæíî áûëî

Страницы