Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

82 Ãëàâà òðåòüÿ
Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â
()
q,pC (ñì. (2.7.8),
(3.1.3))
()
()
(
)
()
(
)
qq
pp
e
~
U
~
e
~
U
~
...e
~
U
~
e
~
U
~
UeUe...UeUeSUTU
τβ
τβ
σασα
=
11
11
))
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé U , óíèòàðåí â
()
nC
~
, çàïèøåì:
()()
σασα
=
eeUeUe ,
( )
( )
τβτβ
= e
~
e
~
e
~
U
~
e
~
U
~
,
÷òî äîêàçûâàåò (3.3.14).
§3.4. Òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî òåíçîð
()
q,pT â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå
èìååò êîîðäèíàòû
q
p
...
...
T
γγ
δδ
1
1
:
()
p
q
q
p
...
...
...
...
Tq,pT
δδ
γγ
γγ
δδ
Ψ=
1
1
1
1
. (3.4.1)
Ïîñêîëüêó áàçèñ â
()
q,pC ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ (ñì. §3.2) ñòàíäàð-
òíîãî ïîñòðîåíèÿ èç çàäàííîãî áàçèñà
n
e,...,e
1
â
()
nC , òî ìîæíî ñ÷è-
òàòü, ÷òî ñèñòåìà èç
qp
n
+
÷èñåë
q
p
...
...
T
γγ
δδ
1
1
îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò âûá-
ðàííîìó áàçèñó
n
e,...,e
1
â
()
nC .
Âûáåðåì òåïåðü â
()
nC íîâûé áàçèñ
n
e,...,e
′′
1
, à ïî íåìó ïîñòðîèì
â
()
q,pC íîâûé áàçèñ
q
p
q
p
q
p
...
...
e
~
...e
~
e...e
ββ
αα
ββ
αα
′
⊗⊗
′
⊗
′
⊗⊗
′
=Ψ
′
1
1
1
1
1
1
. (3.4.2)
Ðàçëàãàÿ òåíçîð
()
q,pT (ñì. (3.4.1)) ïî áàçèñó (3.4.2), èìååì
()
q
p
p
q
...
...
...
...
Tq,pT
ββ
αα
αα
ββ
Ψ
′′
=
1
1
1
1
. (3.4.3)
Ïîëó÷èì òåïåðü áàçèñ
n
e,...,e
1
èç áàçèñà
n
e,...,e
′′
1
äåéñòâèåì íåêî-
82                                                                                          Ãëàâà òðåòüÿ

      Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â                                      C ( p , q ) (ñì. (2.7.8),
(3.1.3))

        (U)T U)S ) = (Ue         α1               )(                    )(
                                                             ~ β1 ~~ τ1 ~~ βq ~~ τq
                                        Ueσ1 ... Ueα p Ueσ p U~
                                                              e Ue ... Ue Ue .       )(               )
                                                                                         C (n ) , çàïèøåì:
                                                                                         ~
       Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé U , óíèòàðåí â

        (Ue   α   Ueσ ) = (eα eσ ) ,                     (U~~e   β   ~ τ
                                                                     U~  ) (
                                                                      e = ~
                                                                          eβ ~
                                                                             eτ ,   )
÷òî äîêàçûâàåò (3.3.14).


        §3.4. Òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ

       Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî òåíçîð                                  T ( p , q ) â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå
                                      γ ...γ
èìååò êîîðäèíàòû               Tδ11...δ pq :

       T ( p , q ) = Tδ11...δ pq Ψγ11...γ qp .
                             γ ...γ        δ ...δ
                                                                                                 (3.4.1)

       Ïîñêîëüêó áàçèñ â                       C ( p , q ) ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ (ñì. §3.2) ñòàíäàð-
òíîãî ïîñòðîåíèÿ èç çàäàííîãî áàçèñà                                   e1 ,..., en â C (n ) , òî ìîæíî ñ÷è-
                                                             γ ...γ
òàòü, ÷òî ñèñòåìà èç              n p + q ÷èñåë Tδ11...δ pq îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò âûá-

ðàííîìó áàçèñó           e1 ,..., en â C (n ) .
       Âûáåðåì òåïåðü â                   C (n ) íîâûé áàçèñ e1′ ,..., en′ , à ïî íåìó ïîñòðîèì
â   C ( p , q ) íîâûé áàçèñ
                         1                          p
           β ...β                                β            β
        Ψα′1 ...1 α pq = e′α1 ⊗ ... ⊗ e′α p ⊗ ~
                                              e ′ 1 ⊗ ... ⊗ ~
                                                            e′ q .                               (3.4.2)
                                                            1                q

       Ðàçëàãàÿ òåíçîð                 T ( p , q ) (ñì. (3.4.1)) ïî áàçèñó (3.4.2), èìååì
       T ( p , q ) = Tβ′1 ...1βq p Ψα′1 ...1 α pq .
                              α ...α            β ...β
                                                                                                 (3.4.3)

       Ïîëó÷èì òåïåðü áàçèñ                         e1 ,..., en èç áàçèñà e1′ ,..., en′ äåéñòâèåì íåêî-

Страницы