Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 81 стр.

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                          81

      Äîêàæåì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñîîòâåòñòâèÿ                 Π : åñëè îïåðàòîðû
L′, L′′ äåéñòâóþò â C (n ) , L = L′L′′ è L , L′, L′′ èíäóöèðóþò îïåðàòîðû
) ) )                                          ) ))
L , L ′, L ′′ , äåéñòâóþùèå â C ( p , q ) , òî L = L ′L ′′ , èëè
      Π (L′L′′) = Π (L′) ⋅ Π (L′′) .                        (3.3.11)
                     ) ))
      Ïîêàæåì, ÷òî L è L ′L ′′ îäèíàêîâî äåéñòâóþò íà áàçèñíûå âåêòî-
ðû (3.2.1).
     Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ (2.9.5),

         (
       ) β ...β
                  )   ) 1                                  β 
                                      p
                                                β
       L Ψα11...αqp = L e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~
                                              e 1 ⊗ ... ⊗ ~
                                                          e q=
                                             1           q   
        1 1


           
                             
                            p p


                             
                                      ~ β1
      = L e α1  ⊗ ... ⊗ L e α p  ⊗ L ~
                                        1 1
                                            ( )
                                           e ⊗ ... ⊗ L  ~
                                                     ~ βq 
                                                     q q
                                                          e =
                                                            
  1 1      1


          
                           p p
                                   p  ~ ~ β1
                                              1
                                                  ( )
= L′ L′′ e α1  ⊗ ... ⊗ L′ L′′ e α p  ⊗ L ′ L ′′ ~
                                                  1
                                                      e ⊗ ... ⊗ L ′ L ′′ ~
                                                      1
                                                                ~ ~ βq 
                                                                q q  q
                                                                           e =
                                                                               
                           ))
                               (        )
                                     β ...β
                         = L ′L ′′ Ψα11...αqp .                              (3.3.12)

      Åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó          E (n ) ñîîòâåòñòâóåò åäèíè÷íûé îïåðàòîð:
      Π (E (n )) = E (n p + q ).                                             (3.3.13)

                           U - óíèòàðíûé îïåðàòîð â C (n ) , òî è
      Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè
                        )
èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð U = ΠU óíèòàðåí â C ( p , q ) .
      Äîêàæåì ðàâåíñòâî

      (U)T U)S ) = (T S )                                                    (3.3.14)

äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà     T è S - áàçèñíûå âåêòîðû (3.2.1) Ñîãëàñíî (3.3.3)
      )    ) β ...β      1 1            p p
                                                  ~ β1        ~ βq
      UT = UΨα11...αqp = U e α1 ⊗ ... ⊗ U e α p ⊗ U ~
                                                    e ⊗ ... ⊗ U ~
                                                                e ,
                                                       1 1             q q

à
      )    ) τ ...τ      1 1            p p
                                                  ~ τ1        ~ τq
      US = UΨσ11...σqp = U e σ1 ⊗ ... ⊗ U e σ p ⊗ U ~
                                                    e ⊗ ... ⊗ U ~
                                                                e .
                                                      1 1             q q