Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

80 Ãëàâà òðåòüÿ
γ
γ
α
α
=
iii
eLeL
,
δ
β
δ
β
=
kk
k
e
~
Le
~
L
~
, (3.3.4)
òàê êàê âñå îïåðàòîðû
i
L
èìåþò îäíó è òó æå ìàòðèöó
γ
α
L , à âñå îïåðàòî-
ðû
k
L
~
- îäíó è òó æå ìàòðèöó
β
δ
L
~
. Ïîýòîìó
( )
q
p
q
q
p
p
q
p
...
...
...
...
L...L
~
L
~
L...LLL
δδ
γγ
β
δ
β
δ
β
δ
γ
α
γ
α
γ
α
ββ
αα
Ψ=Ψ
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
)
, (3.3.5)
òî åñòü ìû íàøëè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà
L
)
â áàçèñå (3.2.1). Â
ñèëó îáùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
ij
i
j
xLy
=
, ìû ìîæåì
çàïèñàòü óðàâíåíèå
TLT
)
=
′
(3.3.6)
â êîîðäèíàòíîé ôîðìå:
p
q
q
q
p
p
p
q
...
...
...
...
TL
~
...L
~
L...LT
γγ
δδ
δ
β
δ
β
α
γ
α
γ
αα
ββ
=
′
1
1
1
1
1
1
1
1
. (3.3.7)
 ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3.4) ïåðåïèøåì (3.3.7) â âèäå
()()
p
q
q
q
p
p
p
q
...
...
...
...
TL...LL...LT
γγ
δδ
δ
β
−
δ
β
−
α
γ
α
γ
αα
ββ
=
′
1
1
1
1
1
1
1
1
11
. (3.3.8)
Åñëè UL = - óíèòàðíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â
()
nC (íàèáî-
ëåå èíòåðåñíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé), òî ìîæíî çàïè-
ñàòü (3.3.8) (ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
()
i
j
j
i
j
i
UUU
==
+
−
1
, ñì. (1.3.15)) òàê:
()()
p
q
q
q
p
p
p
q
...
...
...
...
TU...UU...UT
γγ
δδ
δ
β
−
δ
β
−
α
γ
α
γ
αα
ββ
=
′
1
1
1
1
1
1
1
1
11
, (3.3.9)
∑
δγ
γγ
δδ
β
δ
β
δ
α
γ
α
γ
αα
ββ
=
′
,
...
...
...
...
p
q
q
q
p
p
p
q
TU...UU...UT
1
1
1
1
1
1
1
1
. (3.3.10)
Ñóììèðîâàíèå â (3.3.10) íå ïî ïðàâèëó Ýéíøòåéíà ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò ìàòðèöû ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¸ííîé ìàòðèöå
íå èìååò èíâàðèàíòíîãî (íå çàâèñÿùåãî îò âûáîðà áàçèñà) ñìûñëà.
Ïîä÷åðêí¸ì åù¸ ðàç, ÷òî ôîðìóëà (3.3.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çà-
ïèñü â êîîðäèíàòàõ äåéñòâèÿ â ïðîñòðàíñòâå
()
q,pC îïåðàòîðà L
)
åñòü
êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà
qp
n
+
.
80                                                                                                        Ãëàâà òðåòüÿ

          i i                  i
                                                ~ β        δ
         L e α = Lγα e γ ,                      L~
                                                 e = Lβδ ~
                                                         e ,                                                  (3.3.4)
                                                k k              k
                                        i
òàê êàê âñå îïåðàòîðû L èìåþò îäíó è òó æå ìàòðèöó Lγα , à âñå îïåðàòî-
   ~                        ~β
ðû L - îäíó è òó æå ìàòðèöó Lδ . Ïîýòîìó
     k


             (
         ) β ...β
                           )            γ ~ ~               β    δ ...δ
         L Ψα11...αqp = Lγα11 Lγα22 ...Lαpp Lβδ11 Lβδ22 ...Lδqq Ψγ11...γ pq ,                                 (3.3.5)
                                                                                                   )
òî åñòü ìû íàøëè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà                                                      L â áàçèñå (3.2.1). Â
ñèëó îáùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà y = Li x , ìû ìîæåì
                                               j    j i

çàïèñàòü óðàâíåíèå
               )
         T ′ = LT                                                                                             (3.3.6)
â êîîðäèíàòíîé ôîðìå:
              α ...α p               α ~           ~δ γ ...γ
         Tβ′1 ...1βq     = Lαγ11 ...Lγ pp Lβδ11 ...Lβqq Tδ11...δqp .                                          (3.3.7)
         Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3.4) ïåðåïèøåì (3.3.7) â âèäå

                         = Lαγ11 ...Lγ pp (L−1 )β1 ...(L−1 )βq Tδ11...δqp .
              α ...α p                 α              δ1             δq   γ ...γ
         Tβ′1 ...1β q                                                                                         (3.3.8)

     Åñëè L = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â C (n ) (íàèáî-
ëåå èíòåðåñíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé), òî ìîæíî çàïè-
                                                                              +
ñàòü (3.3.8) (ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî                    (U ) = U  −1 j
                                                                 i            i
                                                                                  j
                                                                                      = U ji , ñì. (1.3.15)) òàê:
              α ...α p
         Tβ′1 ...1β q    = U γα11 ...U γ pp
                                            α
                                                (U ) ...(U ) T
                                                      −1 δ1
                                                         β1
                                                                     −1 δ q
                                                                        βq
                                                                                   γ1 ...γ p
                                                                                  δ1 ...δ q    ,              (3.3.9)

                         = ∑ U γα11 ...U γ pp U δβ11 ...U δqq Tδ11...δqp .
              α ...α p                           α                   β    γ ...γ
         Tβ′1 ...1β q                                                                                         (3.3.10)
                               γ ,δ

     Ñóììèðîâàíèå â (3.3.10) íå ïî ïðàâèëó Ýéíøòåéíà ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò ìàòðèöû ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¸ííîé ìàòðèöå
íå èìååò èíâàðèàíòíîãî (íå çàâèñÿùåãî îò âûáîðà áàçèñà) ñìûñëà.
     Ïîä÷åðêí¸ì åù¸ ðàç, ÷òî ôîðìóëà (3.3.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çà-
                                                                                                            )
ïèñü â êîîðäèíàòàõ äåéñòâèÿ â ïðîñòðàíñòâå                                            C ( p , q ) îïåðàòîðà L åñòü
êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà                             n p+q .

Страницы