Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 79 стр.

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                79


       L - i -é ýêçåìïëÿð îïåðàòîðà L , à â k -ì ýêçåìïëÿðå C (n ) (òî
        i
                                                            ~
ðàòîð
       ~ ~                      ~
åñòü â C ) - L , k -é ýêçåìïëÿð L .
        k   k

     Òîãäà â    C ( p , q ) äåéñòâóåò òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ
     ) 1          p
                     ~         ~
     L = L⊗ ... ⊗ L⊗ L ⊗ ... ⊗ L .                              (3.3.1)
                         1         q

     Îòìåòèì ôîðìàëüíûé ñìûñë òîëüêî ÷òî ïðîâåä¸ííîé îïåðàöèè:
ïî äàííîìó îïåðàòîðó     L , äåéñòâóþùåìó íà âåêòîðû x èç C (n ) , ìû ïî-
                                            )
ñòðîèëè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïåðàòîð L , äåéñòâóþùèé íà âåêòîðû
T ( p , q ) èç ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) .
       Ýòîò çàêîí ñîîòâåòñòâèÿ, ïî êîòîðîìó îïåðàòîðó â n - ìåðíîì ïðî-
ñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå äðóãîé, áî-
ëåå âûñîêîé ðàçìåðíîñòè, èìååò îñíîâíîå çíà÷åíèå äëÿ òåîðèè ïðåäñòàâ-
ëåíèé, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì äàëåå.
     Îáîçíà÷èì ýòî ñîîòâåòñòâèå ñèìâîëîì   Π:
       )
       L = ΠL .                                                  (3.3.2)
       )
       L íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì èíäóöèðîâàííûì îïåðàòîðîì L â
C (p , q) .
                                      )
      Âûÿñíèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð L íà âåêòîð T ( p , q ) . Ó÷èòûâàÿ
                       )                                              )
ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà L , äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü, êàê äåéñòâóåò L íà
áàçèñíûå âåêòîðû (3.2.1). Ïî îïðåäåëåíèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
                     )
îïåðàòîðîâ (2.9.5)   L äåéñòâóåò «ïî÷ëåííî»:
     ) 1            p
                               β           β 
     L e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~
                             e 1 ⊗ ... ⊗ ~
                                         e q=
                            1           q   
       1 1


          
                            
                            
                                       ( )
                                     ~ β1
     = L e α1  ⊗ ... ⊗ L e α p  ⊗ L ~
                           p p


                                     1 1
                                          e ⊗ ... ⊗ L  ~
                                                    ~ βq 
                                                    q q
                                                         e .
                                                           
                                                                (3.3.3)

     Ó÷èòûâàÿ (2.3.2), çàïèøåì