Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

77Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
q
p
q
p
e
~
...e
~
e...e
ββ
αα
⊗⊗⊗⊗⊗
1
1
1
1
, (3.2.1)
ãäå èíäåêñû
qp
,...,,,...,
ββαα
11
ïðîáåãàþò íåçàâèñèìî çíà÷åíèÿ îò 1
äî n .
Îáîçíà÷èì áàçèñíûé âåêòîð (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, áàçèñíûé òåí-
çîð) (3.2.1) ÷ðåç
q
p
...
...
ββ
αα
Ψ
1
1
. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìîíîìà
q
p
x
~
...x
~
x
~
x...xxT
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=
21
21
0
(3.2.2)
èìååì
j
i
i
j
i
exx
= ,
l
k
k
l
k
e
~
x
~
x
~
= , (3.2.3)
q
p
q
p
...
...
q
p
x
~
...x
~
x
~
x...xxT
ββ
αα
β
ββ
α
αα
Ψ⋅=
1
121
21
21
21
0
. (3.2.4)
Ëþáîé òåíçîð
()
q,pT èìååò, ïîýòîìó ðàçëîæåíèå âèäà
()
q
p
p
q
...
...
...
...
Tq,pT
ββ
αα
αα
ββ
Ψ⋅=
1
1
1
1
. (3.2.5)
×èñëà
p
q
...
...
T
αα
ββ
1
1
è åñòü êîîðäèíàòû òåíçîðà
()
q,pT â âûáðàííîì
áàçèñå (3.2.1).
Äëÿ âåêòîðîâ
()
01,T è êîâåêòîðîâ
()
10,T ìû ìîæåì çàïèñàòü èõ
êîîðäèíàòû â
()
nC è ñîîòâåòñòâåííî â
()
nC
~
:
()
α
α
=
eT,T01 , (3.2.6)
()
β
β
=
e
~
T,T 10 . (3.2.7)
Äëÿ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè
()
11, èìååì
()
β
α
α
β
β
α
α
β
Ψ=⊗=
TeeTT
~
1,1 . (3.2.8)
 ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.5) äåéñòâèå îïåðàòîðà
()
11,T , íà âåêòîð
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                        77

          1                  p
                             β           β
      e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~
                           e 1 ⊗ ... ⊗ ~
                                       e q,                                             (3.2.1)
                                           1                        q

ãäå èíäåêñû         α1 ,..., α p ,β1 ,...,β q ïðîáåãàþò íåçàâèñèìî çíà÷åíèÿ îò 1
äî   n.
      Îáîçíà÷èì áàçèñíûé âåêòîð (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, áàçèñíûé òåí-
                                  β ...β
çîð) (3.2.1) ÷ðåç            Ψα11...αqp . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìîíîìà
               1         2                     p
      T0 = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x⊗ ~
                            x⊗ ~
                               x ⊗ ... ⊗ ~
                                         x                                              (3.2.2)
                                                           1    2          q

èìååì
          i    i    i
          x = xj ej ,              ~
                                   x=~
                                     xl ~
                                          l
                                        e ,                                             (3.2.3)
                                   k           k       k

                   1     2                p
                                          αp   ~                β ...β
                   α1
      T0 = x x ... x     α2
                                               xβ1 ~
                                                   xβ2 ... ~
                                                           x ⋅ Ψα11...αqp .             (3.2.4)
                                                                    qβ
                                                   1       2           q



      Ëþáîé òåíçîð                     T ( p , q ) èìååò, ïîýòîìó ðàçëîæåíèå âèäà
      T ( p , q ) = Tβ1 ...1 βq p ⋅ Ψα11...αqp .
                                 α ...α                β ...β
                                                                                        (3.2.5)

                   Tβ1 ...1 βq p è åñòü êîîðäèíàòû òåíçîðà T ( p , q ) â âûáðàííîì
                        α ...α
      ×èñëà
áàçèñå (3.2.1).
      Äëÿ âåêòîðîâ T (1,0) è êîâåêòîðîâ T (0,1) ìû ìîæåì çàïèñàòü èõ
êîîðäèíàòû â C (n ) è ñîîòâåòñòâåííî â C (n ) :
                                        ~

      T (1,0) = T α eα ,                                                                (3.2.6)

      T (0,1) = Tβ ~
                   eβ.                                                                  (3.2.7)

      Äëÿ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè                                  (1,1) èìååì
      T (1,1) = Tβα eα ⊗ ~
                         e β = Tβα Ψαβ .                                                (3.2.8)

      Â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.5) äåéñòâèå îïåðàòîðà                              T (1,1), íà âåêòîð

Страницы