Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

78 Ãëàâà òðåòüÿ
i
i
ezz
= çàäàäèì ôîðìóëîé
()
α
βα
βα
βα
β
===
ezTeze
~
Tz,Tu 11 , (3.2.9)
èëè
βα
β
α
=
zTu . (3.2.10)
ìû ïðèøëè ê îáû÷íîé çàïèñè îïåðàòîðà â êîîðäèíàòàõ. Òîæäåñòâåí-
íûé îïåðàòîð çàäà¸òñÿ òåíçîðîì
δ
, èìåþùèì â ëþáîì áàçèñå êîîðäè-
íàòû
α
β
δ
.
Àíàëîãè÷íî òåíçîð
()
21
21
20
ββ
ββ
⊗=
e
~
e
~
T,T (3.2.11)
îïðåäåëÿåò, ñîãëàñíî (3.1.7), (3.1.8), áèëèíåéíóþ ôîðìó
()
21
21
ββ
ββ
=
vuTv,uT . (3.2.12)
Îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè îäèíàêîâîé âàëåíòíîñòè çàïèñûâàþòñÿ â
êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
()
p
q
p
q
p
q
...
...
...
...
...
...
STST
αα
ββ
αα
ββ
αα
ββ
+=+
1
1
1
1
1
1
, (3.2.13)
()
p
q
p
q
...
...
...
...
TT
αα
ββ
αα
ββ
⋅λ=λ
1
1
1
1
, (3.2.14)
()
p
q
p
q
STST
αα
ββ
βα
αα
ββ
...
...
,
...
...
1
1
1
1
∑
=
. (3.2.15)
 ôîðìóëå (3.2.15) ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì èíäåêñàì
()()
q,...,,j,p,...,,i
ji
2121
=β=α
.
§3.3. Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð
Ïóñòü íàì çàäàíû: ïðîñòðàíñòâî
()
nC ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì îïå-
ðàòîðîì
L
è äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî
()
nC
~
ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì äóàëü-
íûì îïåðàòîðîì
L
~
. Âîçüì¸ì â i -ì ýêçåìïëÿðå
()
nC (òî åñòü â
i
C
) îïå-
78                                                                          Ãëàâà òðåòüÿ

z = z i ei çàäàäèì ôîðìóëîé

       u = T (1,1)z = Tβα ~
                          e β z eα = Tβα z β eα ,                               (3.2.9)
èëè
       u α = Tβα z β .                                                          (3.2.10)
ìû ïðèøëè ê îáû÷íîé çàïèñè îïåðàòîðà â êîîðäèíàòàõ. Òîæäåñòâåí-
íûé îïåðàòîð çàäà¸òñÿ òåíçîðîì δ , èìåþùèì â ëþáîì áàçèñå êîîðäè-
íàòû   δβα .
       Àíàëîãè÷íî òåíçîð
       T (0 ,2 ) = Tβ1β2 ~
                         e β1 ⊗ ~
                                e β2                                            (3.2.11)
îïðåäåëÿåò, ñîãëàñíî (3.1.7), (3.1.8), áèëèíåéíóþ ôîðìó
       T (u , v ) = Tβ1β2 u β1 v β2 .                                           (3.2.12)
    Îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè îäèíàêîâîé âàëåíòíîñòè çàïèñûâàþòñÿ â
êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

       (T + S )βα ......βα
                      1
                      1       q
                               p                α ...α           α ...α
                                     = Tβ1 ...1 βq p + Sβ11...βq p ,            (3.2.13)

       (λT )βα ......βα
                 1
                 1    q
                          p                     α ...α
                              = λ ⋅ Tβ1 ...1 βq p ,                             (3.2.14)

       (T S ) = ∑ T                 α1 ...α p
                                   β1 ... β q
                                                   α ...α
                                                S β11...β qp .                  (3.2.15)
                     α ,β

       Â ôîðìóëå (3.2.15) ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì èíäåêñàì
αi (i = 1,2 ,..., p ),β j ( j = 1,2 ,..., q ) .


        §3.3. Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð

                                   C (n ) ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì îïå-
       Ïóñòü íàì çàäàíû: ïðîñòðàíñòâî

ðàòîðîì L è äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì äóàëü-
                                  ~

                                  L . Âîçüì¸ì â i -ì ýêçåìïëÿðå C (n ) (òî åñòü â C ) îïå-
                                                                                  i
                                  ~
íûì îïåðàòîðîì

Страницы