Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

75Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåñêîëüêî íåîáû÷íûì, òàê
êàê ÷àùå âñåãî ïîíÿòèå òåíçîðà ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî
ìåòîäà.
Îïðåäåëåíèå òåíçîðà êàê âåêòîðà êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà íå-
îáõîäèìî íàì äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ìû ÷àñ-
òî áóäåì îòñòóïàòü îò îáùåïðèíÿòûõ îïðåäåëåíèé, ðóêîâîäñòâóÿñü åäèí-
ñòâåííî òðåáîâàíèÿìè ôèçèêè.
Âåêòîðû èç
()
nC è êîâåêòîðû èç
()
nC
~
ïðåäñòàâëÿþò ÷àñòíûé ñëó-
÷àé òåíçîðîâ.  ñàìîì äåëå,
()
01,T èìååò âèä
∑
=
j
j
xx
11
, à
()
10,T âèä
∑
=
j
j
x
~
x
~
11
.
Ìîíîì
()
y
~
x,T
⊗=
11 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð íà
()
nC : äåéñòâèÿ ýòîãî îïåðàòîðà íà âåêòîð z èç
()
nC îïðåäåëÿåòñÿ ôîð-
ìóëîé
xzy
~
zy
~
xTz == . (3.1.4)
Åñòåñòâåííî, ýòî íå ñàìûé îáùèé îïåðàòîð íà
()
nC ; íî ëþáîé
îïåðàòîð â
()
nC ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ íåêîòîðûì ïîëèíîìîì, òî åñòü
òåíçîðîì òèïà
()
i
i
y
~
x,T ⊗=
11
:
i
i
xzy
~
Tz
= , (3.1.5)
òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû â
()
nC ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òåíçîðû âàëåí-
òíîñòè
()
11,.
Ìîíîì
()
21
20
x
~
x
~
,T
⊗=
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèëèíåéíóþ
ôîðìó íà
()
nC ; å¸ çíà÷åíèÿ íà ïàðå âåêòîðîâ
u
è
v
îïðåäåëÿåòñÿ êàê
()
vx
~
ux
~
v,uT
21
⋅=
. (3.1.6)
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                 75

åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåñêîëüêî íåîáû÷íûì, òàê
êàê ÷àùå âñåãî ïîíÿòèå òåíçîðà ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî
ìåòîäà.
     Îïðåäåëåíèå òåíçîðà êàê âåêòîðà êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà íå-
îáõîäèìî íàì äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ìû ÷àñ-
òî áóäåì îòñòóïàòü îò îáùåïðèíÿòûõ îïðåäåëåíèé, ðóêîâîäñòâóÿñü åäèí-
ñòâåííî òðåáîâàíèÿìè ôèçèêè.
                         C (n ) è êîâåêòîðû èç C (n ) ïðåäñòàâëÿþò ÷àñòíûé ñëó-
                                               ~
       Âåêòîðû èç

                                            T (1,0) èìååò âèä   ∑ x j = x , à T (0,1) âèä
                                                                     1    1
÷àé òåíçîðîâ.  ñàìîì äåëå,
                                                                 j


∑ ~x
 j
     1
         j
             =~
              x.
               1


       Ìîíîì          T (1,1) = x ⊗ ~
                                    y ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð íà
C (n ) : äåéñòâèÿ ýòîãî îïåðàòîðà íà âåêòîð z èç C (n ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîð-
ìóëîé

         Tz = x ~
                yz = ~
                     y z x.                                                      (3.1.4)

       Åñòåñòâåííî, ýòî íå ñàìûé îáùèé îïåðàòîð íà                       C (n ) ; íî ëþáîé
îïåðàòîð â C (n ) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ íåêîòîðûì ïîëèíîìîì, òî åñòü
òåíçîðîì òèïà T (1,1) = x ⊗ ~
                            yi :    i


         Tz = ~
              y i z xi ,                                                         (3.1.5)

òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû â                  C (n ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òåíçîðû âàëåí-
òíîñòè       (1,1).
       Ìîíîì          T (0,2 ) = ~
                                 x⊗ ~
                                    x ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèëèíåéíóþ
                                1       2

ôîðìó íà           C (n ) ; å¸ çíà÷åíèÿ íà ïàðå âåêòîðîâ u è v îïðåäåëÿåòñÿ êàê

         T (u , v ) = ~
                      xu ⋅ ~
                           xv .                                                  (3.1.6)
                         1      2

Страницы