Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 74 стр.

74                                                                          Ãëàâà òðåòüÿ

òíîñòè     ( p , q ) , èëè, èíà÷å, êîìïëåêñíûì òåíçîðîì íàä C (n ) ,           p ðàç êîí-
òðàâàðèàíòíûì è q ðàç êîâàðèàíòíûì.
    Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ,
ïðåäñòàâèì òåíçîð         T ( p , q ) èç C ( p , q ) â âèäå ôîðìàëüíîãî ïîëèíîìà
                                     p
       T ( p, q ) = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ ~
                          1
                                        x j ⊗ ... ⊗ ~
                                                    xj,                          (3.1.2)
                                            1            q
                      j

       i              i
                                          ~
ãäå   x j - âåêòîð èç C , ~
                          x j - âåêòîð èç C , èíäåêñ j ñëóæèò äëÿ îáîçíà÷å-
                              k                 k

íèÿ âåêòîðîâ, âõîäÿùèõ â           j -é ÷ëåí ñóììû.
      Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â                     C (p , q)
(ñì. §2.7), ìû ìîæåì íàïèñàòü:

           1          p                         1            p                         
         ∑ xi′ ⊗ ... xi′ ⊗ ~            x ′i ∑ x ′j′⊗ ... ⊗ x ′j′⊗ ~
                            x ′i ⊗ ... ⊗ ~                                       x ′′ j  =
                                                                    x ′′ j ⊗ ... ~
         i                                                                       q 
                                                                                       
                             1            q                          1
                                              j


                p
                     k k  q ~ i ~ j 
       = ∑∏  xi′ x ′j′  ⋅ ∏  x ′ x ′′  .                                     (3.1.3)
         i , j k =1       l =1  l l 

      Çàìå÷àíèÿ.
      Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå âåêòîðíóþ ïðèðîäó òåíçîðîâ. Åäèíñòâåí-
íîå, ÷òî ñóùåñòâåííî äëÿ òîãî, ÷òîáû íåêîòîðûå îáúåêòû ìîæíî áûëî
òðàêòîâàòü êàê âåêòîðû, ýòî âîçìîæíîñòü ïðîèçâîäèòü íàä íèìè äåé-
ñòâèÿ ïî îïðåäåë¸ííûì ïðàâèëàì, ñ ñîáëþäåíèåì îáùèõ àëãåáðàè÷åñ-
êèõ çàêîíîâ ïåðå÷èñëåííûõ â §1.10. Òàê êàê                   C ( p , q ) åñòü ÷àñòíûé ñëó-
÷àé òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ C ( p ) è C (q ) , ìû ìîæåì ðàñ-
ñìîòðåòü ôîðìàëüíûå ñóììû (3.1.2) êàê âåêòîðû (ïðè ýòîì íàäî èìåòü â
âèäó, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà íåîäíîçíà÷íî, ñóììû ïðåäñòàâ-
ëÿþùèå îäèí è òîò æå âåêòîð, îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïðåîáðàçîâàíè-
ÿìè òèïà (2.9.3)). Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ (3.1.2)
óäîáíî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òåíçîðîâ.
     Â ëèòåðàòóðå ðåäêî ââîäèòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äëÿ òåíçîðîâ
è ïîýòîìó èñòîëêîâàíèå òåíçîðà êàê âåêòîðà íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî