Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 73 стр.

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                  73




            Ãëàâà III
            Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì
            åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
     Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà âîïðîñàì òåíçîðíîé àëãåáðû íàä êîìïëåêñ-
íûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Òåíçîð, êàê èíâàðèàíòíûé îáúåêò, îï-
ðåäåëÿåòñÿ, â îòëè÷èå îò îáùåïðèíÿòûõ ñïîñîáîâ, êàê âåêòîð íåêîòîðî-
ãî êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêîé ïîäõîä ê îïðåäåëå-
íèþ òåíçîðà ïðîäèêòîâàí òðåáîâàíèÿìè ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êî-
òîðûå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå. Äëÿ áîëåå ïîëíîãî ïîíèìàíèÿ
ïîíÿòèÿ òåíçîðà ïðèâîäÿòñÿ åãî òèïîâûå îïðåäåëåíèÿ (òåíçîð êàê çàêîí
ïðåîáðàçîâàíèÿ, òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ). Äàëåå ðàññìàòðè-
âàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå äåéñòâèÿ (ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, ñâ¸ðòêà) íàä òåí-
çîðàìè, à òàê æå ñèììåòðè÷åñêèå è àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû, îïåðà-
òîðû ñèììåòðèçàöèè.


        §3.1. Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ òåíçîðà

        Âîçüì¸ì íåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ ðàçìåðíîñòü       n . Äàëåå âîçüì¸ì
                                  p
p ýêçåìïëÿðîâ C ,C ,...,C ïðîñòðàíñòâà C (n ) è q ýêçåìïëÿðîâ
                          1   2



C , C ,...,C äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà C (n ) è ïîñòðîèì êîìïëåêñíîå åâ-
~ ~        ~                        ~
1   2      q

êëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
                                    p
        C ( p , q ) = C ⊗ C ⊗ ... ⊗ C ⊗ C ⊗ C ⊗ ... ⊗ C
                      1   2
                                        ~ ~           ~
                                                                  (3.1.1)
                                      1    2         q


ðàçìåðíîñòè     n p+q .
        Âåêòîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàä      C (n ) âàëåí-