Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 71 стр.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                    71



          §2.9. Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ

    Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ
          C (n ) = C (n1 ) ⊗ C (n2 ) ⊗ ... ⊗ C (n s ) , n = n1n2 ...n s ,   (2.9.1)
âåêòîðû êîòîðîãî èìåþò âèä
               1                s
          ∑x
           j
                   j   ⊗ ... ⊗ x j ,                                        (2.9.2)


      x - âåêòîð èç C (ni ) .
      i
ãäå
          Ïî îïðåäåëåíèþ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

                                                               
          x ⊗ ... ⊗  x ′+ x ′′  ⊗ ... ⊗ x =
          1            i     i              s


                                                             
                                                               
          = x ⊗ ... ⊗ x ′⊗ ... ⊗ x + x ⊗ ... ⊗ x ′′⊗ ... ⊗ x ,
            1          i          s   1         i          s

                                                                           (2.9.3)
            1    2        s     1       2        s
                                                               
          λ x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x = x ⊗ λ x ⊗ ... ⊗ x =              
                   1  2             s                          
          = ... = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ λ x .                          

     Çàìåíà ëåâîé ÷àñòè òàêîãî ðàâåíñòâà ïðàâîé èëè íàîáîðîò, åñòü
ýëåìåíòàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä ïîëèíîìîì (2.9.2). Ïîëèíîìû ñ÷èòàþòñÿ ðàâ-
íûìè, åñëè ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýëåìåíòàðíûìè îïåðàöèÿìè. Äåé-
ñòâèÿ íàä âåêòîðàìè èç C (n ) (òî åñòü íàä ïîëèíîìàìè (2.9.2), ñðåäè êî-
òîðûõ ðàâíûå îòîæäåñòâëÿþòñÿ è ñ÷èòàþòñÿ îäíèì è òåì æå âåêòîðîì)
îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè