Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

69Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
§2.8. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ
Ïóñòü â
()
mC äåéñòâóåò îïåðàòîð M , à â
()
nC - îïåðàòîð N .
Ïîñòðîèì ïî ýòèì îïåðàòîðàì íîâûé îïåðàòîð
NM ⊗
, äåéñòâóþùèé
â
() ()
nCmC
⊗
.
Òàê êàê íàì íàäî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî äîñòàòî÷íî
óêàçàòü, êàê íóæíûé íàì îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ìîíîìû; ïî ëèíåéíîñòè
îí áóäåò òîãäà îïðåäåë¸í äëÿ âñåõ ïîëèíîìîâ (2.7.1).
Ïóñòü
()
NyMxyxL
⊗=⊗
; (2.8.1)
òîãäà îïåðàòîð L , äåéñòâóþùèé íà
() ()
nCmC
⊗
îáîçíà÷èì êàê
NML ⊗=
(2.8.2)
è íàçîâ¸ì òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðà M , äåé-
ñòâóþùèì íà
()
mC , è îïåðàòîðà N , äåéñòâóþùåãî íà
()
nC .
Ôèêñèðóåì áàçèñû
jiji
fe,f,e
⊗ è âûðàçèì ìàòðèöó îïåðàòîðà
NM ⊗
÷åðåç ìàòðèöû M è N .
Åñëè
j
j
ii
eMMe
= ,
()
m,...,i 1
=
,
l
l
kk
fNNf
= ,
()
n,...,j 1
=
,
òî
()
lk
l
j
k
il
l
jk
k
ikiki
feNMfNeMNfMefeL ⊗=⊗=⊗=⊗
. (2.8.3)
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà L , ñòîÿùèé â ñòðî-
êå
()
l,k è ñòîëáöå
()
j,i ðàâåí
l
j
k
i
NM
. Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû â
() ()
nCmC
⊗
çàíóìåðîâàíû ïî ïðàâèëó (2.7.12), òî ìîæíî çàïèñàòü
ìàòðèöó NM ⊗ â âèäå
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                              69


        §2.8. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

       Ïóñòü â      C (m ) äåéñòâóåò îïåðàòîð M , à â C (n ) - îïåðàòîð N .
Ïîñòðîèì ïî ýòèì îïåðàòîðàì íîâûé îïåðàòîð M ⊗ N , äåéñòâóþùèé
â   C(m) ⊗ C(n) .
     Òàê êàê íàì íàäî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî äîñòàòî÷íî
óêàçàòü, êàê íóæíûé íàì îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ìîíîìû; ïî ëèíåéíîñòè
îí áóäåò òîãäà îïðåäåë¸í äëÿ âñåõ ïîëèíîìîâ (2.7.1).
     Ïóñòü
        L(x ⊗ y ) = Mx ⊗ Ny ;                                                         (2.8.1)

òîãäà îïåðàòîð       L , äåéñòâóþùèé íà C(m) ⊗ C(n) îáîçíà÷èì êàê
        L=M ⊗N                                                                        (2.8.2)
è íàçîâ¸ì òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðà                          M , äåé-
ñòâóþùèì íà       C (m ), è îïåðàòîðà N , äåéñòâóþùåãî íà C (n ) .
       Ôèêñèðóåì áàçèñû         ei , f j , ei ⊗ f j è âûðàçèì ìàòðèöó îïåðàòîðà
M ⊗ N ÷åðåç ìàòðèöû M è N .
       Åñëè
Mei = M i j e j ,       (i = 1,..., m ),    Nf k = N kl f l ,   ( j = 1,..., n ),
òî
L(ei ⊗ f k ) = Mei ⊗ Nf k = M ik ek ⊗ N lj f l = M ik N lj ek ⊗ f l .                 (2.8.3)

       Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà                  L , ñòîÿùèé â ñòðî-
êå   (k ,l )   è ñòîëáöå   (i , j ) ðàâåí   M ik N lj . Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû â
C(m) ⊗ C(n)         çàíóìåðîâàíû ïî ïðàâèëó (2.7.12), òî ìîæíî çàïèñàòü
ìàòðèöó        M ⊗ N â âèäå

Страницы