Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 68 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

68 Ãëàâà âòîðàÿ
Ðàçëàãàÿ, òàêèì îáðàçîì, âñå ìîíîìû (2.7.1), ìû ìîæåì ïðåäñòà-
âèòü ëþáîé âåêòîð
ξ
èç
() ()
nCmC
â âèäå
ji
ij
fe
ξ=ξ . (2.7.10)
Òàê êàê âåêòîðû
ji
fe
îðòîíîðìèðîâàííû, îíè ñîñòàâëÿþò áà-
çèñ â
() ()
nCmC
. Êîãäà ìû ýòî ïîêàæåì, ìû òåì ñàìûì íàéä¸ì è ðàç-
ìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà
() ()
nCmC
, ïîñêîëüêó ÷èñëî âåêòîðîâ
ji
fe
ðàâíî mn ( n,...,j;m,...,i 11 == ).
Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîíîìîâ (2.7.7)
()
()
()
jlikljkilkji
ffeefefe
δδ==
; (2.7.11)
ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè lj,ki == , òî åñòü êîãäà âåêòîðû
ji
fe
,
lk
fe
ñîâïàäàþò, â ýòîì ñëó÷àå 1=δδ
jjii
.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óêàçàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðî-
ñòðàíñòâà
() ()
nCmC
.fe;...;fe;fe
...........................................
;fe;...;fe;fe
;fe;...;fe;fe
nmmm
n
n
21
22212
12111
(2.7.12)
Åñëè çàíóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà â íàïèñàííîì âûøå ïîðÿäêå,
òî ñòàíîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè âûðàæåíèÿ: «áàçèñíûé âåêòîð íîìåð
()
l,k »,
«ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èç
()
j,i -é ñòðîêè» è òàê äàëåå.
68                                                                          Ãëàâà âòîðàÿ

        Ðàçëàãàÿ, òàêèì îáðàçîì, âñå ìîíîìû (2.7.1), ìû ìîæåì ïðåäñòà-
âèòü ëþáîé âåêòîð           ξ èç C(m) ⊗ C(n) â âèäå
        ξ = ξij ei ⊗ f j .                                                         (2.7.10)

        Òàê êàê âåêòîðû         ei ⊗ f j îðòîíîðìèðîâàííû, îíè ñîñòàâëÿþò áà-

çèñ â   C(m) ⊗ C(n) . Êîãäà ìû ýòî ïîêàæåì, ìû òåì ñàìûì íàéä¸ì è ðàç-
ìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà                C(m) ⊗ C(n) ,          ïîñêîëüêó ÷èñëî âåêòîðîâ

ei ⊗ f j ðàâíî mn ( i = 1,..., m; j = 1,..., n ).
        Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîíîìîâ (2.7.7)
        (ei   ⊗ f j ek ⊗ f l ) = (ei ek )⋅ ( f j f l ) = δik δ jl ;                (2.7.11)

ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè i                  = k , j = l , òî åñòü êîãäà âåêòîðû
ei ⊗ f j , ek ⊗ f l ñîâïàäàþò, â ýòîì ñëó÷àå δ ii δ jj = 1 .
        Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óêàçàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðî-
ñòðàíñòâà       C(m) ⊗ C(n)

        e1 ⊗ f 1 ; e1 ⊗ f 2 ;...; e1 ⊗ f n ; 
        e2 ⊗ f1 ; e2 ⊗ f 2 ;...; e2 ⊗ f n ; 
                                                                                  (2.7.12)
        ........................................... 
        em ⊗ f1 ; em ⊗ f 2 ;...; em ⊗ f n .
        Åñëè çàíóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà â íàïèñàííîì âûøå ïîðÿäêå,
òî ñòàíîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè âûðàæåíèÿ: «áàçèñíûé âåêòîð íîìåð                          (k ,l )»,
«ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èç             (i , j )-é ñòðîêè» è òàê äàëåå.