Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 67 стр.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                               67


C (m ) ⊗ C (n ) ïðåâðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
ðàçìåðíîñòè mn (â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîé ñóììû                             C (m ) ⊕ C (n ), ðàç-
ìåðíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ).
     Ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:
      (x′ ⊗ y ′ + ... + x′ ⊗ y ′ ) + (x′′ ⊗ y ′′ + ... + x′′ ⊗ y ′′ ) =
        1                    p       p          1       1           q         q

      = x1′ ⊗ y1′ + ...x ′p ⊗ y ′p + x1′′ ⊗ y1′′ + ... + x q′′ y q′′ .                 (2.7.5)
      Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ âûðàæåíèé (2.7.1) íàäî èõ ïðîñòî âûïèñàòü ïîä-
ðÿä, ñîåäèíèâ çíàêîì ïëþñ. ×àñòî ïðè ýòîì â ïðàâîé ÷àñòè âîçìîæíû
óïðîùåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, íàïðèìåð
      x ⊗ y + x ⊗ y = (x + x ) ⊗ y = 2 x ⊗ y .
     Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:
      λ (x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p ) = λx1 ⊗ y1 + ... + λx p y p =
      = x1 ⊗ λy1 + ... + x p ⊗ λy p .                                                  (2.7.6)
     Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:
äëÿ ìîíîìîâ:
      (x ′ ⊗ y ′ x ′′ ⊗ y ′′) = (x ′ x ′′) ( ) ⋅ (y ′ y ′′) ( ) ;
                                          C m               C n
                                                                                       (2.7.7)
äëÿ «ïîëèíîìîâ»:

                                   
       i                            i,j
                                                    (
       ∑ xi′ ⊗ yi′ ∑ x ′j′ ⊗ y ′j′  = ∑ xi′ ⊗ yi′ x ′j′ ⊗ y ′j′ .       )            (2.7.8)
                   j               
     Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòè äåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò âñåì òðåáîâàíè-
ÿì, íàëîæåííûì âûøå íà äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè êîìïëåêñíîãî åâêëè-
äîâà ïðîñòðàíñòâà.
     Ïîñòðîèì òåïåðü áàçèñ è íàéä¸ì ðàçìåðíîñòü                         C(m) ⊗ C(n) . Åñëè
x = x i ei , à y = y j f j , òî

      x ⊗ y = x i y j ei ⊗ f j                                                         (2.7.9)

ïðåäñòàâëÿþò ðàçëîæåíèå ìîíîìà                          x ⊗ y ïî áàçèñíûì ìîíîìàì
ei ⊗ f j .