Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

66 Ãëàâà âòîðàÿ
Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà
pp
p
i
ii
yx...yxyx
⊗++⊗=⊗
∑
=
11
1
(2.7.1)
ñ ëþáûì ÷èñëîì «ñëàãàåìûõ» p , ãäå
i
x
- âåêòîðû èç
()
mC , à
i
y
- èç
()
nC . Çíàê
⊗
èãðàåò ðîëü ÷èñòî ôîðìàëüíîãî «ðàçäåëèòåëÿ» ìåæäó
i
x
è
i
y
. Ìû íå ìîæåì çäåñü ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþ âèäà
()
ii
yx
, òàê êàê
íàäî âñ¸ âðåìÿ ïîìíèòü, ÷òî ðå÷ü èä¸ò íå î «âíóòðåííåì» (àíàëîã ñêà-
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà), à íåêîòîðîì ôîð-
ìàëüíîì àíàëîãå óìíîæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çíà-
êè + è
∑
â (2.7.1) èìåþò òîæå ôîðìàëüíûé õàðàêòåð è íå îçíà÷àþò
ñóììèðîâàíèÿ íè â êàêîì çàðàíåå çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå.
Ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ÷òî «ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò» ôîðìàëü-
íûå ñóììû (2.7.1), èìåþò çíà÷åíèå ëèøü ïðàâèëà äåéñòâèé íàä íèìè,
êîòîðûå ìû ñåé÷àñ ïåðå÷èñëèì.
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü äâà âûðàæåíèÿ âèäà (2.7.1) ðàâíûìè, åñëè îíè
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëåäóþùèõ ýëå-
ìåíòàðíûõ îïåðàöèé: åñëè â (2.7.1) âõîäèò ÷ëåí yx ⊗ è
xxx
′′
+
′
=
â
()
mC , òî ýòîò ÷ëåí çàìåíÿåòñÿ íà
yxyx
⊗
′′
+⊗
′
è àíàëîãè÷íûìè (âçà-
èìîçàìåíÿåìûìè) áóäóò âûðàæåíèÿ:
()
yxyxyxx
⊗
′′
+⊗
′
=⊗
′′
+
′
, (2.7.2)
()
yxyxyyx
′′
⊗+
′
⊗=
′′
+
′
⊗
, (2.7.3)
yxyx λ⊗=⊗λ . (2.7.4)
Åñëè âûðàæåíèå (2.7.1) ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèé ïðèâåñòè ê âèäó
00 ⊗
(ñëåâà íóëåâîé âåêòîð â
()
mC , ñïðàâà 
íóëåâîé âåêòîð â
()
nC ), òî
00 ⊗
îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî ÷åðåç
0
. Ìíî-
æåñòâî âñåõ âûðàæåíèé âèäà (2.7.1), ñ îòîæäåñòâëåíèåì ðàâíûõ âûðàæå-
íèé, îáîçíà÷èì ÷åðåç
() ()
nCmC
⊗
.
Äëÿ âûðàæåíèé (2.7.1) ìîæíî óñòàíîâèòü äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ, óì-
íîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî è ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ïðè÷¸ì
66                                                                 Ãëàâà âòîðàÿ

       Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà
         p

        ∑x
        i =1
               i   ⊗ yi = x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p                        (2.7.1)


ñ ëþáûì ÷èñëîì «ñëàãàåìûõ»              p , ãäå xi - âåêòîðû èç C (m ), à y i - èç
C (n ) . Çíàê ⊗ èãðàåò ðîëü ÷èñòî ôîðìàëüíîãî «ðàçäåëèòåëÿ» ìåæäó xi
è    yi . Ìû íå ìîæåì çäåñü ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþ âèäà (xi y i ), òàê êàê
íàäî âñ¸ âðåìÿ ïîìíèòü, ÷òî ðå÷ü èä¸ò íå î «âíóòðåííåì» (àíàëîã ñêà-
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà), à íåêîòîðîì ôîð-
ìàëüíîì àíàëîãå óìíîæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çíà-
êè + è       ∑     â (2.7.1) èìåþò òîæå ôîðìàëüíûé õàðàêòåð è íå îçíà÷àþò
ñóììèðîâàíèÿ íè â êàêîì çàðàíåå çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå.
     Ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ÷òî «ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò» ôîðìàëü-
íûå ñóììû (2.7.1), èìåþò çíà÷åíèå ëèøü ïðàâèëà äåéñòâèé íàä íèìè,
êîòîðûå ìû ñåé÷àñ ïåðå÷èñëèì.
     Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü äâà âûðàæåíèÿ âèäà (2.7.1) ðàâíûìè, åñëè îíè
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëåäóþùèõ ýëå-
ìåíòàðíûõ îïåðàöèé: åñëè â (2.7.1) âõîäèò ÷ëåí           x ⊗ y è x = x ′ + x ′′ â
C (m ), òî ýòîò ÷ëåí çàìåíÿåòñÿ íà x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y è àíàëîãè÷íûìè (âçà-
èìîçàìåíÿåìûìè) áóäóò âûðàæåíèÿ:
       (x ′ + x ′′) ⊗ y = x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y ,                             (2.7.2)

       x ⊗ ( y ′ + y ′′) = x ⊗ y ′ + x ⊗ y ′′ ,                            (2.7.3)
       λx ⊗ y = x ⊗ λy .                                     (2.7.4)
       Åñëè âûðàæåíèå (2.7.1) ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèé ïðèâåñòè ê âèäó 0 ⊗ 0 (ñëåâà íóëåâîé âåêòîð â            C (m ), ñïðàâà –
íóëåâîé âåêòîð â C (n ) ), òî 0 ⊗ 0 îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî ÷åðåç 0 . Ìíî-
æåñòâî âñåõ âûðàæåíèé âèäà (2.7.1), ñ îòîæäåñòâëåíèåì ðàâíûõ âûðàæå-
íèé, îáîçíà÷èì ÷åðåç C m ⊗ C n .( )      ()
     Äëÿ âûðàæåíèé (2.7.1) ìîæíî óñòàíîâèòü äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ, óì-
íîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî è ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ïðè÷¸ì

Страницы