Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

65Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
−
=
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
R .
Ðåøåíèå.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà
R
åñòü
()
01cos2
cossin
sincos
2
=+⋅−=
−
−−
=
λϕλ
λϕϕ
ϕλϕ
λϕ
.
Åãî êîðíè
ϕϕλ
sincos
2,1
i±= êîìïëåêñíû, è åñëè
ϕ
íå êðàòíî
π
, ïðåîáðàçîâàíèå íå èìååò âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Åñëè
πϕ
k2= , ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, è êàæ-
äûé âåêòîð ïëîñêîñòè  ñîáñòâåííûé, ïðè÷¸ì
1=
λ
.
Åñëè
()
πϕ
12
+=
k , ìû èìååì ïðåîáðàçîâàíèå öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè áóäåò ñîáñòâåííûì ñ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì
1−=
λ
.
Ïðèìå÷àíèå. Ðåøàòü ïðèìåðû íà îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óäîáíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD PLUS
6.0 PRO.
§2.7. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ
 §2.4. ìû íàó÷èëèñü èç çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâ ñòðîèòü èõ «ñóììó»
(2.4.7), ïðè÷¸ì îïåðàòîðû äåéñòâóþùèå â «ñëàãàåìûõ» ïðîñòðàíñòâàõ, òàê
æå èìåþò «ñóììó» (2.5.1)  îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ñóììå» ïðîñòðàíñòâ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñòðîåíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâ èç áîëåå ïðî-
ñòûõ ñïîñîáîì «óìíîæåíèÿ». Ïðè ýòîì áóäóò «ïåðåìíîæàòüñÿ» è îïåðà-
òîðû, äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâàõ-«ñîìíîæèòåëÿõ» è ìû ïîëó÷èì îïå-
ðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ïðîèçâåäåíèè» ïðîñòðàíñòâ.
Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà
()
mC è
()
nC . Âåêòîðû ïåðâîãî
ïðîñòðàíñòâà îáîçíà÷èì ÷åðåç ,...x,x,x
′
1
, à âåêòîðû âòîðîãî -
,...y,y,y
′
1
. Áàçèñû â
()
mC áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç
m
e,...,e
1
, à â
()
nC -
÷åðåç
n
f,...,f
1
.
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                     65

              cos ϕ         − sin ϕ 
        R =                        .
              sin ϕ          cos ϕ 
        Ðåøåíèå.
        Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà              R åñòü
                     cos ϕ − λ       − sin ϕ
        ϕ (λ ) =                              = λ2 − 2 cos ϕ ⋅ λ + 1 = 0 .
                       sin ϕ        cos ϕ − λ
        Åãî êîðíè          λ1, 2 = cos ϕ ± i sin ϕ êîìïëåêñíû, è åñëè ϕ íå êðàòíî
π , ïðåîáðàçîâàíèå íå èìååò âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé.
     Åñëè ϕ = 2kπ , ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, è êàæ-
äûé âåêòîð ïëîñêîñòè – ñîáñòâåííûé, ïðè÷¸ì               λ = 1.
    Åñëè ϕ = (2k + 1)π , ìû èìååì ïðåîáðàçîâàíèå öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè áóäåò ñîáñòâåííûì ñ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì λ = −1 .
     Ïðèìå÷àíèå. Ðåøàòü ïðèìåðû íà îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óäîáíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD PLUS
6.0 PRO.


        §2.7. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ

       §2.4. ìû íàó÷èëèñü èç çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâ ñòðîèòü èõ «ñóììó»
(2.4.7), ïðè÷¸ì îïåðàòîðû äåéñòâóþùèå â «ñëàãàåìûõ» ïðîñòðàíñòâàõ, òàê
æå èìåþò «ñóììó» (2.5.1) – îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ñóììå» ïðîñòðàíñòâ.
      Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñòðîåíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâ èç áîëåå ïðî-
ñòûõ ñïîñîáîì «óìíîæåíèÿ». Ïðè ýòîì áóäóò «ïåðåìíîæàòüñÿ» è îïåðà-
òîðû, äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâàõ-«ñîìíîæèòåëÿõ» è ìû ïîëó÷èì îïå-
ðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ïðîèçâåäåíèè» ïðîñòðàíñòâ.
        Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà             C (m ) è C (n ) . Âåêòîðû ïåðâîãî
ïðîñòðàíñòâà îáîçíà÷èì ÷åðåç                  x , x1 , x ′,... , à âåêòîðû âòîðîãî -
y , y1 , y ′,... . Áàçèñû â C (m ) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç e1 ,..., em , à â C (n ) -
÷åðåç    f 1 ,..., f n .

Страницы