Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

63Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
0
21
22
2
2
1
11
2
1
1
=
λ−
λ−
λ−
n
n
nn
n
n
L...LL
............
L...LL
L...LL
. (2.6.7)
Ëåâàÿ ÷àñòü (2.6.7) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè
n
îòíîñèòåëüíî
λ
, òî
åñòü ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ëþáîãî îïåðàòîðà íå ïðåâûøàåò n .
Ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ (2.6.7) âçÿòûõ ñ èõ àë-
ãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ (êàê êîðíåé óðàâíåíèÿ, à íå êàê ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé), ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè
()
1
1
1
−
−
λ−
n
n
:
∑∑
==
λ==
n
i
i
n
i
j
i
LSpL
11
. (2.6.8)
Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëèòåëü îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âû-
áîðà áàçèñà. Ïðèìåíÿÿ ýòî ê (2.6.6), ìû óâèäèì, ÷òî ñóììà
∑
=
n
i
j
i
L
1
â (2.6.8)
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà L . Èíâàðèàíò SpL íàçû-
âàåòñÿ ñëåäîì îïåðàòîðà.
Äðóãîé èíâàðèàíò,
Ldet
, ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
êîðíåé:
∏
=
λ=
n
i
i
Ldet
1
. (2.6.9)
Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà L ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
()
0
LnESpLL
+⋅=
, (2.6.10)
ãäå
()
nE - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à
0
L - áåññëåäíûé îïåðàòîð (ñ íóëå-
âûì ñëåäîì).
Ïðèìåð 2.6.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû
îïåðàòîðà L ñ ìàòðèöåé
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                             63


        L11 − λ               L12
                               ...    L1n
           L12         L22 − λ ...    L2n
                                           =0.                                      (2.6.7)
           ...            ...  ...    ...
           L1n            Ln2  ... Lnn − λ

      Ëåâàÿ ÷àñòü (2.6.7) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî λ , òî
åñòü ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ëþáîãî îïåðàòîðà íå ïðåâûøàåò n .
      Ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ (2.6.7) âçÿòûõ ñ èõ àë-
ãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ (êàê êîðíåé óðàâíåíèÿ, à íå êàê ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé), ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè                (− 1)n −1 λn −1 :
                   n                 n
       SpL = ∑ Lij = ∑ λ i .                                                        (2.6.8)
                  i =1              i =1
       Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëèòåëü îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âû-
                                                                        n
áîðà áàçèñà. Ïðèìåíÿÿ ýòî ê (2.6.6), ìû óâèäèì, ÷òî ñóììà             ∑L
                                                                       i =1
                                                                              i
                                                                               j
                                                                                   â (2.6.8)


ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà                     L . Èíâàðèàíò SpL íàçû-
âàåòñÿ ñëåäîì îïåðàòîðà.
    Äðóãîé èíâàðèàíò, det L , ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
êîðíåé:
                        n
       det L = ∏ λ i .                                                              (2.6.9)
                       i =1

       Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà               L ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
       L = SpL ⋅ E (n ) + L0 ,                                                     (2.6.10)

ãäå   E (n ) - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à L0 - áåññëåäíûé îïåðàòîð (ñ íóëå-
âûì ñëåäîì).

       Ïðèìåð 2.6.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû
îïåðàòîðà    L ñ ìàòðèöåé

Страницы