Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 61 стр.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                              61

      §2.6. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

      Ïóñòü îïåðàòîð   L äèàãîíàëèçèðóåì; òîãäà (2.4.7) èìååò âèä

      C = C (1) ⊕ ... ⊕ C (1),
            1           n
                                                                    (2.6.1)
à èç óðàâíåíèé (2.5.2) âèäíî, ÷òî
      Lei = λ i ei .                                                (2.6.2)
      Óðàâíåíèå âèäà
     Lx = λx                                                  (2.6.3)
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Âñå åãî íåíóëåâûå ðåøå-
íèÿ x , ïðè äàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ , íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè
âåêòîðàìè îïåðàòîðà L , ïðèíàäëåæàùèìè λ . Çíà÷åíèå λ , äëÿ êîòîðî-
ãî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð, íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåí-
íûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L .
     Çàäà÷à î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé è â îïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäàííîãî îïåðàòîðà.
Âûðàæåíèå (2.6.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìîãî îïåðàòîðà
L ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñëóæàò λ i , à ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè –
âåêòîðû âûáðàííîãî ñïåöèàëüíîãî áàçèñà      ei .
      Îáðàòíî, åñëè â C ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ       e1 ,..., en ,
ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà L , òî âñå âåêòîðû âèäà
αei , ãäå α - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîñòàâëÿþò ïîäïðîñòðàíñòâî C (1)
ïðîñòðàíñòâà C è èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå (2.6.1); òåì ñàìûì îïåðàòîð
L îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåìûì.
    Âàæíûìè ïðèìåðàìè äèàãîíàëèçèðóåìûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ
ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû.
      Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà â       C (n ) ñóùåñòâóåò
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç      n åãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ,
ïðè÷¸ì âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ     λ i äåéñòâèòåëüíû.
      Ìîæíî, òàê æå, ïîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð â       C (n ) èìååò
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç       n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ; ñî-