Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

62 Ãëàâà âòîðàÿ
îòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå:
k
i
k
e
ϕ
=λ
. (2.6.4)
Åñëè
λ
- ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàä-
ëåæàùèå
λ
âìåñòå ñ íóëåâûìè âåêòîðîì îáðàçóþò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñò-
ðàíñòâî
λ
C ðàçìåðíîñòè r , íàçûâàåìîé êðàòíîñòüþ ýòîãî ïîäïðîñòðàí-
ñòâà, à ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
λ
- r -êðàòíî âûðîæäåííûì (ïðè 1>r ).
Åñëè äëÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ
B,A
ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðî-
âàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç èõ îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî ýòè
îïåðàòîðû ïåðåñòàíîâî÷íû.
Âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ äâóõ èëè áîëåå ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýðìèòîâûõ
îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç
îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî áàçèñà çàìåòèì,
÷òî êàæäûé èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ îïåðàòîðîâ ïåðåâîäèò â ñåáÿ ëþáîå ñîá-
ñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äðóãîãî, è ìîæíî ñòðîèòü ñîáñòâåííûå âåê-
òîðû
B
, íå âûõîäÿ èç ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ
A
. Ýòî íå çíà÷èò,
îäíàêî, ÷òî êàæäûé ñîáñòâåííûé âåêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåê-
òîðîì B : ýòî ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùåãî ïðîñòî-
ìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ A êðàòíîñòè 1.
 ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó
âèäó, â îáùåì ñëó÷àå, íåâîçìîæíî.
Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (2.6.3) â ïðîèçâîëüíîì
áàçèñå â âèäå
()
0
=λδ−
ij
i
j
i
xL
. (2.6.5)
Ýòî óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ
i
x
â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà
0
=λδ−
j
i
j
i
Ldet
. (2.6.6)
Óðàâíåíèå (2.6.6) íàçûâàþò âåêîâûì óðàâíåíèåì, ñëóæàùèì äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå â ïîäðîáíîì âèäå çàïèñû-
âàþòñÿ òàê:
62                                                         Ãëàâà âòîðàÿ

îòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå:
       λ k = e iϕk .                                               (2.6.4)

       Åñëè λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàä-
ëåæàùèå λ âìåñòå ñ íóëåâûìè âåêòîðîì îáðàçóþò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñò-
ðàíñòâî      Cλ ðàçìåðíîñòè r , íàçûâàåìîé êðàòíîñòüþ ýòîãî ïîäïðîñòðàí-
                               r -êðàòíî âûðîæäåííûì (ïðè r > 1 ).
ñòâà, à ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ -
       Åñëè äëÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ A, B ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðî-
âàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç èõ îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî ýòè
îïåðàòîðû ïåðåñòàíîâî÷íû.
     Âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ äâóõ èëè áîëåå ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýðìèòîâûõ
îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç
îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî áàçèñà çàìåòèì,
÷òî êàæäûé èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ îïåðàòîðîâ ïåðåâîäèò â ñåáÿ ëþáîå ñîá-
ñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äðóãîãî, è ìîæíî ñòðîèòü ñîáñòâåííûå âåê-
òîðû  B , íå âûõîäÿ èç ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ A . Ýòî íå çíà÷èò,
îäíàêî, ÷òî êàæäûé ñîáñòâåííûé âåêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåê-
òîðîì B : ýòî ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùåãî ïðîñòî-
ìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ A êðàòíîñòè 1.
      ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó
âèäó, â îáùåì ñëó÷àå, íåâîçìîæíî.
     Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (2.6.3) â ïðîèçâîëüíîì
áàçèñå â âèäå
       (Lj
         i   − λδ ij )x i = 0 .                                    (2.6.5)

     Ýòî óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ        x i â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà

       det Lij − λδ ij = 0 .                                       (2.6.6)
     Óðàâíåíèå (2.6.6) íàçûâàþò âåêîâûì óðàâíåíèåì, ñëóæàùèì äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå â ïîäðîáíîì âèäå çàïèñû-
âàþòñÿ òàê:

Страницы