Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

64 Ãëàâà âòîðàÿ
=
45
21
L .
Ðåøåíèå.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà
L
åñòü
()
065
44
21
2
=−−=
−
−
=
λλ
λ
λ
λϕ
.
Åãî êîðíè 6
1
=
λ
è 1
2
−=
λ
.
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàõîäèì èç äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé:
()
()
=−+
=+−
045
021
211
211
xx
xx
λ
λ
, (*)
()
()
=−+
=+−
045
021
221
212
xx
xx
λ
λ
. (**)
Ïðè 6
1
=
λ
(*) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ 025
21
=− xx
îòêóäà íàõîäèì, ÷òî
5
2
2
1
=
x
x
è â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîò-
âåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 6
1
=
λ
, ìîæíî âçÿòü
{}
5,2
1
=
l ,
èëè ëþáîé âåêòîð, êðàòíûé
1
l .
Ïðè 1
2
−=
λ
èìååì óðàâíåíèå 0
21
=+
xx èëè 1
2
1
−=
x
x
, è ñîîò-
âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð áóäåò
{}
1,1
2
−=
l , èëè ëþáîé åìó êðàò-
íûé.
Ïðèìåð 2.6.2. Íàéä¸ì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòî-
ðû îïåðàòîðà R ïîâîðîòà íà óãîë
ϕ
ñ ìàòðèöåé
64                                                           Ãëàâà âòîðàÿ

          1 2
     L =     .
          5 4
     Ðåøåíèå.
     Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà         L åñòü
                1− λ     2
     ϕ (λ ) =                 = λ2 − 5λ − 6 = 0 .
                 4     4−λ
     Åãî êîðíè λ1 = 6 è λ 2 = −1 .
     Ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàõîäèì èç äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé:

     (1 − λ1 )x1 + 2 x 2 = 0
                             ,                                         (*)
     5 x1 + (4 − λ1 )x 2 = 0

     (1 − λ 2 )x1 + 2 x 2 = 0
                              .                                       (**)
     5 x1 + (4 − λ 2 )x 2 = 0
     Ïðè   λ1 = 6 (*) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ 5 x1 − 2 x 2 = 0
                        x1 2
îòêóäà íàõîäèì, ÷òî       = è â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîò-
                        x2 5
âåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ       λ1 = 6 , ìîæíî âçÿòü l1 = {2,5},
èëè ëþáîé âåêòîð, êðàòíûé      l1 .
                                                         x1
     Ïðè   λ 2 = −1 èìååì óðàâíåíèå x1 + x 2 = 0 èëè        = −1 , è ñîîò-
                                                         x2
âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð áóäåò      l 2 = {1,−1}, èëè ëþáîé åìó êðàò-
íûé.

     Ïðèìåð 2.6.2. Íàéä¸ì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòî-
ðû îïåðàòîðà    R ïîâîðîòà íà óãîë ϕ ñ ìàòðèöåé

Страницы