Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 59 стр.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                               59

ïîäïðîñòðàíñòâå          C (ni ) ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, ÷åì ó ïðîñòðàíñòâà C .
Ýòî îáúÿñíÿåò èíòåðåñ ê íåïðèâîäèìûì îïåðàòîðàì è ê ðàçëîæåíèþ
ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ íà íåïðèâîäèìûå.
     Â ôèçèêå èãðàåò âàæíóþ ðîëü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè
äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ ñèñòåìà (ìíîæåñòâî)
îïåðàòîðîâ G , äåéñòâóþùàÿ â C .
      Åñëè êàæäûé èç îïåðàòîðîâ G ïåðåâîäèò âåêòîðû êàæäîãî            C (ni )
â âåêòîðû òîãî æå         C (ni ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå
(2.4.7) ïðèâîäèò ñèñòåìó îïåðàòîðîâ G ; ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ â ýòîì
ñëó÷àå ïðèâîäèìîé. Åñëè æå íå ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèÿ (2.4.7), ïðèâîäÿ-
ùåãî G , òî ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìîé.
      Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé îïåðàòîð èç G ìîæåò
áûòü ïðèâîäèìûì, òîãäà êàê ñèñòåìà G â öåëîì – íåïðèâîäèìîé.
     Â äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû
âñåãäà ïðèâîäèìû; òîãäà êàê ñóùåñòâóþò íåïðèâîäèìûå ñèñòåìû òàêèõ
îïåðàòîðîâ. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ êàæäîãî
îòäåëüíîãî îïåðàòîðà èç G ìîæíî èíîãäà ïîäîáðàòü ïðèâîäÿùåå åãî
ðàçëîæåíèå, íî íè îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå íå ïðèâîäèò èõ âñåõ ñðàçó.
     Ðàçëîæåíèþ (2.4.7) ñîîòâåòñòâóåò áàçèñ (2.4.5), â êîòîðîì ìîæíî
çàïèñàòü êàæäûé äåéñòâóþùèé â C îïåðàòîð               L:
       y j = Lij x i ,( j = 1,2 ,..., n; n = n1 + ... + n s ).         (2.5.2)

                  ëåæèò â C (nk ) , òî x = 0 äëÿ âñåõ i , êðîìå òåõ, êîòîðûå
                                           i
     Åñëè x
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
      n1 + ... + nk −1 + 1 ≤ i ≤ nk −1 + ... + n s ;                   (2.5.3)
                                         i
äëÿ i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), x ïðîèçâîëüíû. Äëÿ âñåõ òàêèõ x âåê-
òîðû y , îïðåäåë¸ííûå ôîðìóëîé (2.5.2), äîëæíû òàêæå èìåòü íóëåâûå
êîîðäèíàòû ïðè           i , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Lij = 0 ïðè i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), è, j , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ
(2.5.3).
      Èòàê,    Lij ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü â ÿùèêàõ ìàòðèöû