Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

58 Ãëàâà âòîðàÿ
Òîò ôàêò, ÷òî
C
ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ
()
i
nC
, çàïèøåòñÿ òàê:
() ()
s
nC...nCC ⊕⊕=
1
. (2.4.7)
§2.5. Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû
Çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ñîñòî-
èò â òîì, ÷òî òàêîå ðàçëîæåíèå ÷àñòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èçó÷åíèå îïå-
ðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â
C
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð L , äåéñòâóþùèé â
C
, îáëàäàåò ñëå-
äóþùèì ñâîéñòâîì: L ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà
()
i
nC
â âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà,
s,...,,i 21=
. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îðòîãî-
íàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò îïåðàòîð L . Åñëè ðàññìàòðèâàòü
äåéñòâèå îïåðàòîðà
L
òîëüêî íà ïîäïðîñòðàíñòâå
()
i
nC
, òî ïîëó÷èòñÿ
îïåðàòîð
i
L
, äåéñòâóþùèé â
()
i
nC
; îòíîøåíèå ìåæäó îïåðàòîðîì
L
è
ïîðîæä¸ííûìè èì îïåðàòîðàìè
i
L
çàïèøåòñÿ â âèäå
s
L...LLL
⊕⊕⊕=
21
. (2.5.1)
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè â êàæäîì
()
i
nC
äåéñòâóåò îïåðàòîð
i
L
, òî â C äåéñòâóåò èõ ñóììà  îïåðàòîð, ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëîé
(2.5.1).
Ïðè ýòîì, åñëè âñå
i
L
óíèòàðíû, òî è
L
óíèòàðåí.
Åñëè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå
C
(íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ),
ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð L , åãî íàçûâàþò ïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå  íåïðèâîäèìûì.
Èçó÷åíèå ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà
L
ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷å-
íèþ îïåðàòîðîâ
i
L
, êàæäûé èç êîòîðûõ «àâòîíîìíî» äåéñòâóåò â ñâî¸ì
58                                                            Ãëàâà âòîðàÿ

      Òîò ôàêò, ÷òî C ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ
C (ni ) , çàïèøåòñÿ òàê:
      C = C (n1 ) ⊕ ... ⊕ C (n s ) .                                 (2.4.7)




       §2.5. Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû

      Çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ñîñòî-
èò â òîì, ÷òî òàêîå ðàçëîæåíèå ÷àñòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èçó÷åíèå îïå-
ðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â C .
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð         L , äåéñòâóþùèé â C , îáëàäàåò ñëå-
äóþùèì ñâîéñòâîì:       L ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà C (ni )
â âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà,   i = 1,2 ,..., s . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îðòîãî-
íàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò îïåðàòîð L . Åñëè ðàññìàòðèâàòü
äåéñòâèå îïåðàòîðà L òîëüêî íà ïîäïðîñòðàíñòâå C (ni ) , òî ïîëó÷èòñÿ

îïåðàòîð   Li , äåéñòâóþùèé â C (ni ) ; îòíîøåíèå ìåæäó îïåðàòîðîì L è
ïîðîæä¸ííûìè èì îïåðàòîðàìè            Li çàïèøåòñÿ â âèäå
       L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Ls .                                      (2.5.1)

      Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè â êàæäîì       C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð
Li , òî â C äåéñòâóåò èõ ñóììà – îïåðàòîð, ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëîé
(2.5.1).
      Ïðè ýòîì, åñëè âñå    Li óíèòàðíû, òî è L óíèòàðåí.
      Åñëè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå C (íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ),
ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð        L , åãî íàçûâàþò ïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå – íåïðèâîäèìûì.
      Èçó÷åíèå ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà         L ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷å-
íèþ îïåðàòîðîâ     Li , êàæäûé èç êîòîðûõ «àâòîíîìíî» äåéñòâóåò â ñâî¸ì

Страницы