Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 56 стр.

56                                                                                 Ãëàâà âòîðàÿ

             +
      ~
      A = ϕ A−1 ϕ −1 ,                                                                          (2.3.6)

èëè, ÷òî òîæå: åñëè ~y = ϕ(x ) , òî

          ~       + 
          A~y = ϕ A−1 x  .                                                                    (2.3.7)
                        
                                                                                            +
    Òàêèì îáðàçîì, äóàëüíûé ê A îïåðàòîð ïîëó÷àåòñÿ èç                                  A−1 «ïåðå-
íîñîì» ñ ïîìîùüþ àíòèèçîìîðôèçìà ϕ .


          §2.4. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ

          Ïóñòü    C (n1 ),C (n 2 ),..., C (ns ) - êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàí-
ñòâà. Ïîñòðîèì èç íèõ íîâîå ïðîñòðàíñòâî C , âåêòîðû êîòîðîãî, åñòü
ôîðìàëüíûå ñóììû
          1    2          s
          x ⊕ x ⊕ ... ⊕ x ,                                                                     (2.4.1)

      x - âåêòîðû C (ni ) .
      i
ãäå
     Çíàê ⊕ ââåä¸í â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî çíàêà ñóììèðîâàíèÿ, òàê
êàê «ñóììèðîâàíèå» â (2.4.1) åñòü ïðîñòî ôîðìàëüíîå ñîåäèíåíèå âåêòî-
ðîâ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ â öåïî÷êó, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñëîæåíèå èõ â
êàêîì-ëèáî çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå.
          Íåêîòîðûå èç ÷èñåë        n1 , n2 ,..., n s ìîãóò áûòü ðàâíû äðóã äðóãó è
ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâà                            C (ni ) ðàçëè÷íûìè
ýêçåìïëÿðàìè îäíîãî è òîãî æå ïðîñòðàíñòâà (â ñèëó èõ èçîìîðôíîñòè).
Äîãîâîðèìñÿ âûïèñûâàòü               C (ni ) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñåë ni .
     Îïðåäåëèì â ïðîñòðàíñòâå C ñëîæåíèå âåêòîðîâ, óìíîæåíèå âåê-
òîðîâ íà ÷èñëî è ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ïî ïðàâèëàì:

           x1 ⊕ ... ⊕ xs  +  y1 ⊕ ... ⊕   y  =  x +
                                             s         1
                                                             y  ⊕ ... ⊕  x +
                                                             1               s
                                                                                   y  ,
                                                                                   s
                                                                                             (2.4.2)
                                                                               