Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

55Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
 äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îäíîâðåìåííî
()
nC è
()
nC
~
, ìû áó-
äåì âñåãäà âûáèðàòü â íèõ äóàëüíûå áàçèñû è âåñòè âû÷èñëåíèÿ â ýòîì
ïðåäïîëîæåíèè.
 äóàëüíûõ áàçèñàõ àíòèèçîìîðôèçì
ϕ
çàïèøåòñÿ â âèäå
ii
xx
~
= ,
()
n,...,,i 21
=
. (2.2.5)
§2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû
Îïåðàòîðû
A
è
A
~
, äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â
()
nC è
()
nC
~
,
íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè, åñëè äëÿ âñåõ
x
~
è y
yx
~
Ayx
~
A
~
= . (2.3.1)
Íàéä¸ì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè îïåðàòîðîâ A è A
~
. Ïî îïðåäåëå-
íèþ ÷èñåë
j
i
A
è
k
j
A
~
j
j
ii
eAAe
= ,
jk
j
k
e
~
A
~
e
~
A
~
= , (2.3.2)
îòêóäà, â ñèëó (2.3.1),
k
i
j
i
k
ji
k
AA
~
Aee
~
A
~
δ== . (2.3.3)
Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû A è A
~
âçàèìíî îáðàòíû:
()
j
i
j
i
AA
~
1
−
=
. (2.3.4)
Îïåðàòîð, èìåþùèé äóàëüíûé îïåðàòîð, èìååò òåì ñàìûì è îá-
ðàòíûé îïåðàòîð.
Åñëè, â ÷àñòíîñòè,
UA =
- óíèòàðíûé îïåðàòîð, òî èç (1.13.5) ñëå-
äóåò, ÷òî
i
j
j
i
UU
~
= . (2.3.5)
Èç (1.3.6) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé óíèòàðíîìó, óíè-
òàðåí â
()
nC
~
.
Èç îïðåäåëåíèÿ (2.1.3) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                               55

     Â äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îäíîâðåìåííî C (n ) è C (n ) , ìû áó-
                                                                  ~
äåì âñåãäà âûáèðàòü â íèõ äóàëüíûå áàçèñû è âåñòè âû÷èñëåíèÿ â ýòîì
ïðåäïîëîæåíèè.
     Â äóàëüíûõ áàçèñàõ àíòèèçîìîðôèçì ϕ çàïèøåòñÿ â âèäå
      ~
      xi = xi ,       (i = 1,2 ,..., n ) .                             (2.2.5)

      §2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû

                A è A , äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â C (n ) è C (n ) ,
                    ~                                           ~
     Îïåðàòîðû
íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè, åñëè äëÿ âñåõ ~x è y
       ~
       A~x Ay = ~
                xy .                                                   (2.3.1)
                                                             ~
     Íàéä¸ì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè îïåðàòîðîâ             A è A . Ïî îïðåäåëå-
                     ~
íèþ ÷èñåë     Ai j è A jk
                       ~ k ~k ~ j
      Aei = Ai j e j , A ~
                         e = Aj e ,                                    (2.3.2)
îòêóäà, â ñèëó (2.3.1),
       ~ k      ~
       A~
        e Aei = A jk Ai j = δ ik .                                     (2.3.3)
                                             ~
     Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû               A è A âçàèìíî îáðàòíû:
      Ai j = (A−1 )i .
      ~             j
                                                                       (2.3.4)
    Îïåðàòîð, èìåþùèé äóàëüíûé îïåðàòîð, èìååò òåì ñàìûì è îá-
ðàòíûé îïåðàòîð.
      Åñëè, â ÷àñòíîñòè, A = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, òî èç (1.13.5) ñëå-
äóåò, ÷òî
     ~
     U i j = U ji .                                                    (2.3.5)
     Èç (1.3.6) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé óíèòàðíîìó, óíè-

          C (n ) .
          ~
òàðåí â

     Èç îïðåäåëåíèÿ (2.1.3) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ               ñëåäóåò, ÷òî

Страницы