Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

53Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
êîíñòàíòû, à
i
x
êàê ïåðåìåííûå. Åñëè íå âñå
i
α
ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå
()
0
=
xl îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, òî åñòü
()
1
−
n - ìåðíîå ïîäïðîñòðàí-
ñòâî. Âåêòîð x ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, åñëè åãî êîìïîíåíòû óäîâëåò-
âîðÿþò óðàâíåíèþ
()
0
=
xl .
Çàôèêñèðóåì òåïåðü íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð
0
x â
()
nC è ðàñ-
ñìîòðèì óðàâíåíèå âñåõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòîò âåêòîð. Åãî
êîìïîíåíòû
ii
xx
0
=
ÿâëÿþòñÿ òåïåðü êîíñòàíòàìè, à êîýôôèöèåíòû
i
α
áóäóò ïåðåìåííûìè è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íàáîðû
()
n
xxx
,...,,
21
è
()
n
ααα
,...,,
21
ðàâíîïðàâíî, ÷òî äà¸ò íàì âîçìîæíîñòü ââåñòè âòîðîå n - ìåðíîå ïðî-
ñòðàíñòâî
()
nC
~
, êîòîðîå ìû è áóäåì íàçûâàòü äóàëüíûì.
Ïî êîìïîíåíòàì
()
n
yyy
,...,,
21
êîâåêòîðà y
~
èç
()
nC
~
è
()
n
xxx
,...,,
21
âåêòîðà
x
èç
()
nC ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå
n
n
xyxyxy
+++ ...
2
2
1
1
. (2.1.10)
Ýòî âûðàæåíèå ïî îïðåäåëåíèþ èìååò èíâàðèàíòíûé ñìûñë, òàê
êàê åñëè îòíåñòè ïðîñòðàíñòâî
()
nC ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñðåä-
ñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ
i
x
, ïåðåìåííûå
i
y
èç äóàëüíîãî
ïðîñòðàíñòâà
()
nC
~
ïîäâåðãíóòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ.
Ýòî äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî
()
nC
~
íà ñàìîì äåëå äëÿ òîãî è ââîäèòñÿ,
÷òîáû ìû ìîãëè ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âçàèìíî îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðà-
çîâàíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîå åìó ïðåîáðàçîâàíèå.
Èòàê, äâà îáðàòèìûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ
xAx
′
= è yAy
′
=
~
~
~
ÿâëÿþòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíûìè äðóã äðóãó, åñëè îíè ñîõðàíÿþò ëèíåé-
íóþ ôîðìó (2.1.8) íåèçìåííîé
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                          53

êîíñòàíòû, à       x i êàê ïåðåìåííûå. Åñëè íå âñå α i ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå
l (x ) = 0 îïðåäåëÿåò “ïëîñêîñòü”, òî åñòü (n − 1) - ìåðíîå ïîäïðîñòðàí-
ñòâî. Âåêòîð x ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, åñëè åãî êîìïîíåíòû óäîâëåò-
âîðÿþò óðàâíåíèþ l (x ) = 0 .

    Çàôèêñèðóåì òåïåðü íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð x â C (n ) è ðàñ-
                                                                         0

ñìîòðèì óðàâíåíèå âñåõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòîò âåêòîð. Åãî
êîìïîíåíòû         x i = x 0i ÿâëÿþòñÿ òåïåðü êîíñòàíòàìè, à êîýôôèöèåíòû
α i áóäóò ïåðåìåííûìè è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íàáîðû
     (x , x
        1     2
                  ,..., x n ) è (α1 , α 2 ,..., α n )
ðàâíîïðàâíî, ÷òî äà¸ò íàì âîçìîæíîñòü ââåñòè âòîðîå                      n - ìåðíîå ïðî-
            C (n ) , êîòîðîå ìû è áóäåì íàçûâàòü äóàëüíûì.
            ~
ñòðàíñòâî

     Ïî êîìïîíåíòàì              (y1 , y2 ,..., y n ) êîâåêòîðà ~y èç C~(n ) è
(x1 , x 2 ,..., x n ) âåêòîðà x èç C (n ) ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå
      y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n .                                       (2.1.10)
     Ýòî âûðàæåíèå ïî îïðåäåëåíèþ èìååò èíâàðèàíòíûé ñìûñë, òàê
êàê åñëè îòíåñòè ïðîñòðàíñòâî               C (n ) ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñðåä-
ñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ                         x i , ïåðåìåííûå yi èç äóàëüíîãî
            C (n ) ïîäâåðãíóòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ.
             ~
ïðîñòðàíñòâà

Ýòî äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) íà ñàìîì äåëå äëÿ òîãî è ââîäèòñÿ,
                            ~
÷òîáû ìû ìîãëè ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âçàèìíî îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðà-
çîâàíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîå åìó ïðåîáðàçîâàíèå.
     Èòàê, äâà îáðàòèìûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ
                    ~
     x = Ax ′ è ~
                y = A~y′
ÿâëÿþòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíûìè äðóã äðóãó, åñëè îíè ñîõðàíÿþò ëèíåé-
íóþ ôîðìó (2.1.8) íåèçìåííîé

Страницы