Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

52 Ãëàâà âòîðàÿ
áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî îíà âûÿâëÿåò ðÿä ñâîéñòâ äóàëüíîé ñèììåòðèè
ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, òðóäíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàãëÿäíîãî âîîáðàæå-
íèÿ, íî èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî
äóàëèçì âîëíà-÷àñòèöà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå àäåêâàòíî âûðàæàåòñÿ
èìåííî íà ÿçûêå ëèíåéíîãî äóàëèçìà áåñêîíå÷íî ìåðíûõ êîìïëåêñíûõ
åâêëèäîâûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ó÷èòûâàÿ ýòó òðóäíîñòü íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è âàæíîñòü äëÿ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîíÿòèÿ äóàëüíîñòè, ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó
ïîäðîáíåå.
Ïóñòü íàì çàäàíà ëèíåéíàÿ ôîðìà
()
xl ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà
èç
()
nC
n
n
xxx
ααα
+++ ...
2
2
1
1
. (2.1.8)
Ýòî ïîíÿòèå èíâàðèàíòíî: îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìî-
ùè ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ
() ()
xlxl
αα
=
,
()()()
ylxlyxl
+=+
.
ßñíî, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.8) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ôèêñèðóÿ
â
()
nC áàçèñ
n
ee
,...,
1
ìû ìîæåì çàïèñàòü:
i
i
exx
= ;
() ( )
i
ii
i
xelxxl
α
==
;
()
ii
el
=
α
.
Ïåðåõîäÿ ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû
i
x
ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ïîäâåðãàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ (1.5.12)
ii
i
i
xAx
′
′
=
,
à ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ïðèìåò âèä
i
i
i
i
xx
′
′
=
αα
,
ãäå êîýôôèöèåíòû
i
′
α
ñâÿçàíû ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
i
α
ðàâåíñòâàìè
i
i
ii
A
αα
′′
= . (2.1.9)
Ãîâîðÿò, ÷òî êîýôôèöèåíòû
i
α
ëèíåéíîé ôîðìû (2.1.8) ïðåîáðàçó-
þòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
i
x
.
Ó íàñ íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü êîýôôèöèåíòû
i
α
êàê
52                                                                             Ãëàâà âòîðàÿ

áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî îíà âûÿâëÿåò ðÿä ñâîéñò⠓äóàëüíîé ñèììåòðèè”
ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, òðóäíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàãëÿäíîãî âîîáðàæå-
íèÿ, íî èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî
äóàëèçì “âîëíà-÷àñòèöà” â êâàíòîâîé ìåõàíèêå àäåêâàòíî âûðàæàåòñÿ
èìåííî íà ÿçûêå ëèíåéíîãî äóàëèçìà áåñêîíå÷íî ìåðíûõ êîìïëåêñíûõ
åâêëèäîâûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
      Ó÷èòûâàÿ ýòó òðóäíîñòü íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è âàæíîñòü äëÿ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîíÿòèÿ äóàëüíîñòè, ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó
ïîäðîáíåå.
       Ïóñòü íàì çàäàíà ëèíåéíàÿ ôîðìà                  l (x ) ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà
èç   C (n )
       α1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n .                                          (2.1.8)
    Ýòî ïîíÿòèå èíâàðèàíòíî: îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìî-
ùè ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ
       l (αx ) = αl (x ) ,        l (x + y ) = l (x ) + l ( y ).
       ßñíî, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.8) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ôèêñèðóÿ
â   C (n ) áàçèñ e1 ,..., en ìû ìîæåì çàïèñàòü:
        x = x i ei ; l (x ) = x i l (ei ) = α i x i ; α i = l (ei ) .
    Ïåðåõîäÿ ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû                                xi
ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ïîäâåðãàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ (1.5.12)
        x i = Aii′ x i′ ,
à ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ïðèìåò âèä
       α i x i = α i ′ x i′ ,
ãäå êîýôôèöèåíòû α i′ ñâÿçàíû ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè α i
ðàâåíñòâàìè
       α i′ = Aii′α i .                                                            (2.1.9)

       Ãîâîðÿò, ÷òî êîýôôèöèåíòû              α i ëèíåéíîé ôîðìû (2.1.8) ïðåîáðàçó-
þòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ                           xi .
       Ó íàñ íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü êîýôôèöèåíòû                            α i êàê

Страницы