Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

51Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
Òàêîâû ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ-
ìè
()
yx è yx
~
.
2. Êàæäûé ôèêñèðîâàííûé êîâåêòîð y
~
îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóí-
êöèþ
()
xy
~
xl
=
(2.1.5)
ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè íà
C
, è àíàëîãè÷íî, êàæäûé ôèêñèðîâàí-
íûé âåêòîð x îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ
()
xy
~
y
~
l
~
=
(2.1.6)
íà C
~
. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.1.2) íåíóëåâûå âåêòîðû (êîâåêòîðû) îïðåäå-
ëÿþò ïðè ýòîì íåíóëåâûå ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ëèíåéíûå
ôóíêöèè íà
C
è C
~
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ñ
ïîìîùüþ êîâåêòîðîâ è âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì êàæäîå èç äâóõ äóàëü-
íûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ
ôóíêöèé íà äðóãîì.
Ðàññìîòðèì ðàçëè÷èÿ ìåæäó (2.1.4) è (1.10.1),(1.10.2): ïî îòíîøå-
íèþ ê ïåðâîìó àðãóìåíòó «âíóòðåííåå» ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
()
yx
åñòü íå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, êàê (2.1.6), à «àíòèëèíåé-
íàÿ ôóíêöèÿ»:
()() ()
ylxlyxl
β+α=β+α
. (2.1.7)
3. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòè äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïà-
äàþò è ìû áóäåì èõ îáîçíà÷àòü äàëåå êàê
()
nC è
()
nC
~
.
4. Îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ê ïðîèçâåäåíèþ
()
åñòü, ïî ñó-
ùåñòâó, îòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ìåõà-
íèêè â òðàêòîâêå Äèðàêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîí Íåéìàíà. Êàæäàÿ èç
ýòèõ òðàêòîâîê èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ, è ìû â
äàëüíåéøåì áóäåì èõ èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çà-
äà÷àìè.
5. Â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âåêòîðû x íàçûâàþò êîíòðàâàðèàí-
òíûìè âåêòîðàìè, à êîâåêòîðû y
~
- êîâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè.
6. Òåîðèÿ äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííîñòè) ïîëó÷èëà ñâî¸ íàçâàíèå
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                             51

         Òàêîâû ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ-

ìè   (x y ) è   ~
                xy .
    2. Êàæäûé ôèêñèðîâàííûé êîâåêòîð        ~
                                            y îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóí-
êöèþ

         l (x ) = ~y x                                               (2.1.5)

ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè íà C , è àíàëîãè÷íî, êàæäûé ôèêñèðîâàí-
íûé âåêòîð x îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ

         l (y ) = ~
         ~ ~
                  yx                                                 (2.1.6)
     ~
íà C . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.1.2) íåíóëåâûå âåêòîðû (êîâåêòîðû) îïðåäå-
ëÿþò ïðè ýòîì íåíóëåâûå ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ëèíåéíûå
                         ~
ôóíêöèè íà C è C ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ñ
ïîìîùüþ êîâåêòîðîâ è âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì êàæäîå èç äâóõ äóàëü-
íûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ
ôóíêöèé íà äðóãîì.
     Ðàññìîòðèì ðàçëè÷èÿ ìåæäó (2.1.4) è (1.10.1),(1.10.2): ïî îòíîøå-
íèþ ê ïåðâîìó àðãóìåíòó «âíóòðåííåå» ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå           (x y )
åñòü íå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, êàê (2.1.6), à «àíòèëèíåé-
íàÿ ôóíêöèÿ»:
         l (αx + β y ) = αl (x ) + β l ( y ) .                   (2.1.7)
         3. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòè äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïà-
                                            C (n ) è C (n ) .
                                                     ~
äàþò è ìû áóäåì èõ îáîçíà÷àòü äàëåå êàê

         4. Îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ       ê ïðîèçâåäåíèþ     ( ) åñòü, ïî ñó-
ùåñòâó, îòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ìåõà-
íèêè â òðàêòîâêå Äèðàêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîí Íåéìàíà. Êàæäàÿ èç
ýòèõ òðàêòîâîê èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ, è ìû â
äàëüíåéøåì áóäåì èõ èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çà-
äà÷àìè.
     5. Â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âåêòîðû x íàçûâàþò êîíòðàâàðèàí-
òíûìè âåêòîðàìè, à êîâåêòîðû ~
                             y - êîâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè.
    6. Òåîðèÿ äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííîñòè) ïîëó÷èëà ñâî¸ íàçâàíèå

Страницы