Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 49 стр.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                             49




         Ãëàâà II
         Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è
         îïåðàòîðàìè
      Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå êîíñòðóêöèè íàä êîìïëåêñ-
íûìè åâêëèäîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè, èìåþùèå íåêîòîðóþ àíàëîãèþ ñ
îïåðàöèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
      Êîìïëåêñíîìó ñîïðÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò àíòèèçîìîðôèçì, ñâÿçû-
âàþùèé ïàðó âçàèìíî äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ; ñóììå ÷èñåë ñîîòâåòñòâó-
åò îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ; ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë ñîîòâåòñòâó-
åò òåíçîðíîå (êðîíåêåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ.
      Êàæäîé êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè ñîîòâåòñòâóåò êîíñòðóê-
öèÿ íàä îïåðàòîðàìè, òî åñòü îïåðàòîðó â äàííîì ïðîñòðàíñòâå ñòàâèò-
ñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïåðàòîð â äóàëüíîì ïðîñòðàíñòâå; ñèñòå-
ìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (ïî îäíîìó â êàæ-
äîì ñëàãàåìîì), ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð â ñóììå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ; ñèñ-
òåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ïðîñòðàíñòâàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, ñîîòâåòñòâóåò
îïåðàòîð, çàäàííûé â èõ ïðîèçâåäåíèè.
      Ýòè êîíñòðóêöèè ñîñòàâëÿþò îñíîâó òåíçîðíîé àëãåáðû è òåîðèè
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ.



      §2.1. Äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà

                                                                        ~
     Ðàññìîòðèì ïàðó êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ C è             C.
Âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå C , ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç     x , y ,... , à âåê-
       ~
òîðû â C îáîçíà÷èì ÷åðåç ~
                         x ,~
                            y ,... . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû ïðîñòðàí-
                                                     ~
ñòâà C âñåãäà îòëè÷èìû îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C è èõ íå ñëåäóåò
ñìåøèâàòü.