Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

47Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäûé âåêòîð
x
ïðîñòðàíñòâà
()
nC îäíîçíà÷íî
ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó
xxx
′′
+
′
=
, (1.16.2)
ãäå
x
′
ëåæèò â
()
kC , à
x
′′
- â
()
lC è
()
0
=
′′′
xx . Îïåðàòîð P , ñòàâÿùèé
â ñîîòâåòñòâèå âåêòîðó
x
åãî ïðîåêöèþ
x
′
íà ïîäïðîñòðàíñòâî
()
kC ,
íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèðóþùèì. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð ýðìèòîâ è èäåì-
ïîòåíòåí:
()()
PyxyPx
=
, PP =
2
. (1.16.3)
Îáðàòíî, âñÿêèé îïåðàòîð â
()
nC , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè
(1.16.3), ÿâëÿåòñÿ, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ïðîåêòèðóþùèì; ïîäïðîñòðàí-
ñòâî, íà êîòîðîå îí ïðîåêòèðóåò, ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ âèäà Px , ãäå
x
ïðîáåãàåò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî
()
nC .
§1.17. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â
êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
Òåîðåìà 1.17.1. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð
L
êîìïëåêñíîãî
åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà
()
nC ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
iNML +=
, (1.17.1)
ãäå M è
N
- ýðìèòîâû îïåðàòîðû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (1.17.1) âîçìîæíî;
òîãäà
()
iNMNiMiNML
−=−=+=
+++++
,
òàê êàê
MM =
+
è NN =
+
â ñèëó ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðîâ
M
è N .
Èç ðàâåíñòâ iNML += è iNML −=
+
íàõîäèì, ÷òî
+=
+
LLM
2
1
,
−=
+
LL
i
N
2
. (1.17.2)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                             47

     Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäûé âåêòîð x ïðîñòðàíñòâà               C (n ) îäíîçíà÷íî
ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó
      x = x ′ + x ′′ ,                                                    (1.16.2)
ãäå x ′ ëåæèò â   C (k ) , à x ′′ - â C (l ) è (x ′ x ′′) = 0 . Îïåðàòîð P , ñòàâÿùèé
â ñîîòâåòñòâèå âåêòîðó x åãî ïðîåêöèþ x ′ íà ïîäïðîñòðàíñòâî C (k ) ,
íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèðóþùèì. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð ýðìèòîâ è èäåì-
ïîòåíòåí:
     (Px y ) = (x Py ),           P2 = P .                                (1.16.3)

      Îáðàòíî, âñÿêèé îïåðàòîð â C (n ) , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè
(1.16.3), ÿâëÿåòñÿ, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ïðîåêòèðóþùèì; ïîäïðîñòðàí-
ñòâî, íà êîòîðîå îí ïðîåêòèðóåò, ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ âèäà              Px , ãäå
x ïðîáåãàåò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî C (n ) .

      §1.17. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â
             êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

     Òåîðåìà 1.17.1. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð               L êîìïëåêñíîãî
åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà           C (n ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
     L = M + iN ,                                                         (1.17.1)
ãäå M è N - ýðìèòîâû îïåðàòîðû.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (1.17.1) âîçìîæíî;
òîãäà
      +       +    +          +     +
      L = M + (iN ) = M − i N = M − iN ,
          +               +
òàê êàê   M = M è N = N â ñèëó ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðîâ M è N .
                                         +
     Èç ðàâåíñòâ         L = M + iN è L = M − iN íàõîäèì, ÷òî
         1 +                       i+     
      M =  L+ L  ,              N =  L− L  .                          (1.17.2)
         2                         2      

Страницы