Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 46 стр.

46                                                                     Ãëàâà ïåðâàÿ

ïðè÷åì, ñâîéñòâî (1.15.2) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè çàìåíå áàçèñà.
     Ñâîéñòâî îïåðàòîðà áûòü óíèòàðíûì (èëè ýðìèòîâûì) íå çàâèñèò
îò ñèñòåìû êîîðäèíàò, à òîëüêî îò õàðàêòåðà åãî äåéñòâèÿ íà âåêòîðû.
     Ïîä÷åðêí¸ì, òàê æå, ÷òî ïîíÿòèÿ óíèòàðíûõ è ýðìèòîâûõ îïåðà-
òîðîâ èìåþò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû âåêòîð-
íîå ïðîñòðàíñòâî è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
      Êàæäîìó îïåðàòîðó    L ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî
det L , íàçûâàåìîå îïðåäåëèòåëåì îïåðàòîðà L .
      Ïóñòü â áàçèñå      e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð L èìååò ìàòðèöó (Lij )e , à â
áàçèñå   e1′ , e2′ ,..., e′n ìàòðèöó (Lij )e′ , òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ìàòðè-
öû   Le è Le′ ïîäîáíû, òî åñòü
       Le′ = ULeU −1 ,                                                    (1.13.9)

ãäå óíèòàðíàÿ ìàòðèöà           U èçîáðàæàåò â áàçèñå e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð,
ïåðåâîäÿùèé      ei â ei′ , i = 1,2 ,..., n .
      Òàê êàê ïðè óìíîæåíèè ìàòðèö èõ îïðåäåëèòåëè ïåðåìíîæàþòñÿ,

   det (U −1 ) = (det U ) , det Le′ = det Le . Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü
                           −1
òî
ìàòðèöû îïåðàòîðà L íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà è ìîæåò áûòü íà-
çâàí îïðåäåëèòåëåì ñàìîãî îïåðàòîðà L .
     Îïðåäåëèòåëü óíèòàðíîãî îïåðàòîðà åñòü ÷èñëî, ìîäóëü êîòîðîãî
ðàâåí åäèíèöå.
     Îïåðàòîð, îïðåäåëèòåëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ óíè-
ìîäóëÿðíûì.
     Îòìåòèì åù¸ êëàññ ïðîåêòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ, èãðàþùèõ âàæíóþ
ðîëü â òåîðèè îïåðàòîðîâ.

       §1.16. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð

      Ïóñòü êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî             C (n ) ïðåäñòàâëåíî â
âèäå îðòîãîíàëüíîé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ             C (k ) è C (l ):
       C (n ) = C (k ) ⊕ C (l ).                                          (1.16.1)