Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

48 Ãëàâà ïåðâàÿ
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîðû (1.17.2) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñà-
ìîñîïðÿæ¸ííûìè è ÷òî
iNML +=
.
Ïðåäñòàâëåíèå
iNML +=
íàïîìèíàåò ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíî-
ãî ÷èñëà íà âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè.
Òåîðåìà 1.17.2. Êàæäûé íåâûðîæäåííûé îïåðàòîð L â
()
nC ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
UHL =
, (1.17.3)
ãäå
U
- óíèòàðíûé îïåðàòîð (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ïî ìîäó-
ëþ ðàâíû åäèíèöå), à
H
- ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¸ííûé ýðìèòîâ îïåðà-
òîð. Òàêîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà L íàïîìèíàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
()
ϕϕρ
sincos ia
+=
, ãäå 0>
ρ
, à ÷èñëî
ϕϕ
sincos i
+
ïî ìîäóëþ ðàâíî åäèíèöå.
48                                                       Ãëàâà ïåðâàÿ

     Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîðû (1.17.2) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñà-
ìîñîïðÿæ¸ííûìè è ÷òî L = M + iN .
     Ïðåäñòàâëåíèå L = M + iN íàïîìèíàåò ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíî-
ãî ÷èñëà íà âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè.
     Òåîðåìà 1.17.2. Êàæäûé íåâûðîæäåííûé îïåðàòîð     L â C (n ) ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
     L = UH ,                                                 (1.17.3)
ãäå U - óíèòàðíûé îïåðàòîð (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ïî ìîäó-
ëþ ðàâíû åäèíèöå), à H - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¸ííûé ýðìèòîâ îïåðà-
òîð. Òàêîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà L íàïîìèíàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ãäå ρ > 0 , à ÷èñëî
cosϕ + i sin ϕ ïî ìîäóëþ ðàâíî åäèíèöå.

Страницы