Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

50 Ãëàâà âòîðàÿ
Ïóñòü íàì çàäàí àíòèèçîìîðôèçì
C
~
C:
→ϕ
. (2.1.1)
Ïðîñòðàíñòâà
C
è C
~
íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè
1
ïî îòíîøåíèþ ê àí-
òèèçîìîðôèçìó
ϕ
(èëè ïðîñòî äóàëüíûìè, ïîäðàçóìåâàÿ çàäàíèå
ϕ
).
Äëÿ ðàçëè÷èÿ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà
C
îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà
C
~
ìû áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C
~
êîâåêòîðàìè.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì àíòèèçîìîðôèçìà (1.10.13), äëÿ âåê-
òîðîâ y
~
,x èìååì:
()()
()
C
~
C
~
C
xy
~
xy
~
xy
~
ϕ=ϕϕϕ=ϕ
−−
11
. (2.1.2)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåê-
òîð, îïðåäåëèì åãî êàê
()
()
C
~
C
xy
~
xy
~
xy
~
ϕ=ϕ=
−
1
. (2.1.3)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëå-
äóþùèìè ñâîéñòâàìè:
β+α=β+α
β+α=β+α
.yz
~
xz
~
yxz
~
,zy
~
zx
~
zy
~
x
~
(2.1.4)
Ïðèìå÷àíèÿ.
1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
yx
~
ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ââå-
ä¸ííîãî ðàíåå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
()
yx
; òàê êàê ðå÷ü èä¸ò î ïðî-
èçâåäåíèè âåêòîðîâ ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ñòîèò
êîâåêòîð, à íà âòîðîì  âåêòîð. Ïîýòîìó âûðàæåíèå âèäà
y
~
x
íå ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ; íå èìååò ñìûñëà è âîïðîñ î êîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâàõ
ïðîèçâåäåíèÿ è î «ïðîèçâåäåíèè ñ ðàâíûìè ñîìíîæèòåëÿìè».
Ïåðâîå ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè (2.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò (1.10.1): ÷èñëà
òåïåðü âûíîñÿòñÿ çà çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áåç êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.
1
Ìîæíî â ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå âñòðåòèòü âìåñòî äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà âû-
ðàæåíèÿ: ñîïðÿæ¸ííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâî.
50                                                                     Ãëàâà âòîðàÿ

     Ïóñòü íàì çàäàí àíòèèçîìîðôèçì
           ~
     ϕ:C → C.                                                                  (2.1.1)
                      ~
     Ïðîñòðàíñòâà C è C íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè1 ïî îòíîøåíèþ ê àí-
òèèçîìîðôèçìó ϕ (èëè ïðîñòî äóàëüíûìè, ïîäðàçóìåâàÿ çàäàíèå ϕ ).
     Äëÿ ðàçëè÷èÿ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà
~                                        ~
C ìû áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C êîâåêòîðàìè.
     Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì àíòèèçîìîðôèçìà (1.10.13), äëÿ âåê-
òîðîâ   x, ~
           y èìååì:
     (ϕ   −1
               y x )C = (ϕϕ −1 ~
               ~               y ϕx )C~ = (~
                                           y ϕx )C~ .                          (2.1.2)
     Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåê-
òîð, îïðåäåëèì åãî êàê

        y x = (ϕ −1 ~y x )C = (~
        ~                      y ϕ x )C~ .                                     (2.1.3)
    Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëå-
äóþùèìè ñâîéñòâàìè:

        α~x + β~
               yz =α          ~
                              x z +β     ~
                                         yz    ,
        ~                     ~          ~                                    (2.1.4)
        z αx + βy = α         z x +β     z y   .

     Ïðèìå÷àíèÿ.

     1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå             ~
                                           x y ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ââå-

ä¸ííîãî ðàíåå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ                (x y ) ; òàê êàê ðå÷ü èä¸ò î ïðî-
èçâåäåíèè âåêòîðîâ ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ñòîèò

êîâåêòîð, à íà âòîðîì – âåêòîð. Ïîýòîìó âûðàæåíèå âèäà                  x~
                                                                         y íå ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ; íå èìååò ñìûñëà è âîïðîñ î êîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâàõ
ïðîèçâåäåíèÿ è î «ïðîèçâåäåíèè ñ ðàâíûìè ñîìíîæèòåëÿìè».
     Ïåðâîå ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè (2.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò (1.10.1): ÷èñëà
òåïåðü âûíîñÿòñÿ çà çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áåç êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.

1
 Ìîæíî â ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå âñòðåòèòü âìåñòî äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà âû-
ðàæåíèÿ: ñîïðÿæ¸ííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâî.

Страницы