Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

45Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
îáðàçîì óíèòàðíûå îïåðàòîðû, ïî îïðåäåëåíèþ, çàäàþò äâèæåíèÿ êîì-
ïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà
()
nC .
Ñâîéñòâî (1.14.1) ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì ñâîéñòâîì, êî-
òîðîå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò îáðàòíûé, òî åñòü ÷òî óðàâíåíèå yUx =
ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì
y
, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
Ïîëàãàÿ â (1.13.3) zUx = , zUx
1−
=
èìååì:
()
( )
yzUUyz
1
−
=
.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà
()
UyzyzU
=
+
; ñëåäîâàòåëüíî,
1−
+
=
UU . (1.14.2)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç (1.14.2) ñëåäóåò (1.14.1).
 êîîðäèíàòàõ (1.14.2) çàïèøåòñÿ â âèäå
()
i
j
j
i
j
i
UUU
==
+
−
1
. (1.14.3)
Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö
()
j
i
j
i
U,U
1
−
äîëæíî áûòü ðàâíî (ïðè ëþáîì
ïîðÿäêå óìíîæåíèÿ) åäèíè÷íîé ìàòðèöå, îòêóäà
δ=
δ=
∑
∑
=
=
.UU
,UU
ik
n
j
k
j
i
j
ik
n
j
j
k
j
i
1
1
(1.14.4)
§1.15. Ýðìèòîâ îïåðàòîð
Ýðìèòîâûì èëè ñàìîñîïðÿæåííûì íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, ðàâíûé
ñâîåìó ñîïðÿæåííîìó, òî åñòü
()()
HyxyHx
=
(1.15.1)
èëè â êîîðäèíàòàõ
i
j
j
i
HH
= , (1.15.2)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                            45

îáðàçîì óíèòàðíûå îïåðàòîðû, ïî îïðåäåëåíèþ, çàäàþò äâèæåíèÿ êîì-
ïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà C (n ) .
     Ñâîéñòâî (1.14.1) ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì ñâîéñòâîì, êî-
òîðîå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò îáðàòíûé, òî åñòü ÷òî óðàâíåíèå                   Ux = y
ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì               y , è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
    Ïîëàãàÿ â (1.13.3)           Ux = z , x = U −1 z èìååì: (z Uy ) = (U −1 z y ).
    Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà

     U z y  = (z Uy ) ; ñëåäîâàòåëüíî,
     +     
           
     +
     U = U −1 .                                                           (1.14.2)
    Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç (1.14.2) ñëåäóåò (1.14.1).
    Â êîîðäèíàòàõ (1.14.2) çàïèøåòñÿ â âèäå
                       +
      (U )−1 j
             i     = U i j = U ji .                                       (1.14.3)

                                            , (U −1 )i äîëæíî áûòü ðàâíî (ïðè ëþáîì
                                        j         j
    Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö U i
ïîðÿäêå óìíîæåíèÿ) åäèíè÷íîé ìàòðèöå, îòêóäà

      n
                           
     ∑U    i  U kj = δ ik ,
               j

     j =1                  
      n                                                                  (1.14.4)
                      ik 
     ∑
     j =1
          U jU j = δ .
            i  k
                           

     §1.15. Ýðìèòîâ îïåðàòîð

     Ýðìèòîâûì èëè ñàìîñîïðÿæåííûì íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, ðàâíûé
ñâîåìó ñîïðÿæåííîìó, òî åñòü
     (Hx y ) = (x Hy )                                                    (1.15.1)
èëè â êîîðäèíàòàõ
     H i j = H ij ,                                                       (1.15.2)

Страницы