Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

44 Ãëàâà ïåðâàÿ
Òåîðåìà 1.13.2. Â
()
nC êàæäîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó L îòâå÷à-
åò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð
+
L è ïðèòîì òîëüêî îäèí.
Äàííàÿ òåîðåìà ïðÿìî ñëåäóåò èç (1.13.4) è (1.13.5).
()
()
==
+
yLxyxLyLx ; .
Ìàòðèöà
+
j
i
L
ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà
+
L ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû
j
i
L
îïåðàòîðà L â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàí-
íîé è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ìàòðèöå
i
j
L
. Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò L ê
+
L óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1.
()
+++
=
LMLM ,
2. LL =
+
+
,
3.
()
+++
+=+
MLML ,
4.
()
++
=
LL
λλ
,
5.
()()()
.nEnE
=
+
§1.14. Óíèòàðíûé îïåðàòîð
Îïåðàòîð U íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì (îðòîãîíàëüíûì), åñëè îí ñî-
õðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü
()()
yxUyUx
=
. (1.14.1)
Ìû âèäèì, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð U ñîõðàíÿåò äëèíû âåêòîðîâ
è, ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷åí äâèæåíèÿì îáû÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, òàêèì
44                                                                  Ãëàâà ïåðâàÿ

     Òåîðåìà 1.13.2.               C (n ) êàæäîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó L îòâå÷à-
                                        +
åò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð L è ïðèòîì òîëüêî îäèí.
     Äàííàÿ òåîðåìà ïðÿìî ñëåäóåò èç (1.13.4) è (1.13.5).

     (Lx y ) = L(x; y ) =  x L y  .
                                        +


                                           
                        +                               +
     Ìàòðèöà            Lij ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà L ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû
Lij îïåðàòîðà L â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàí-
íîé è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ìàòðèöå                Lij . Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò L ê
+
L óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
             +           +      +
     1.   (LM ) = M L ,
            +
        +
     2.  L  = L ,
         
                    +           +   +
     3.   (L + M ) = L+ M ,
            +               +
     4.   (λL ) = λ L ,
                +
     5.   (E (n )) = E (n ).
      §1.14. Óíèòàðíûé îïåðàòîð

     Îïåðàòîð U íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì (îðòîãîíàëüíûì), åñëè îí ñî-
õðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü
     (Ux Uy ) = (x y ).                                                  (1.14.1)

      Ìû âèäèì, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð U ñîõðàíÿåò äëèíû âåêòîðîâ
è, ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷åí äâèæåíèÿì îáû÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, òàêèì

Страницы