Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

42 Ãëàâà ïåðâàÿ
()
( )
()
()
....
...
...;
2
2
1
1
2222
2
12
1
1121
2
11
1
nnn
n
nn
n
n
n
n
yxLxLxL
yxLxLxL
yxLxLxLyxL
++++
+++++
++++=
............................................
(1.13.2)
Ïðèìåì âûðàæåíèÿ ñòîÿùèå â ñêîáêàõ çà êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî
âåêòîðà z :
....
,...
,...
2
2
1
1
222
2
12
1
2
121
2
11
1
1
nn
n
nnn
n
n
n
n
xLxLxLz
xLxLxLz
xLxLxLz
+++=
+++=
+++=
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1.13.3)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð z ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà
x
ñ
ïîìîùüþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà L ñ ìàòðèöåé, òðàíñïîíèðîâàííîé ê
ìàòðèöå
j
i
L
áèëèíåéíîé ôîðìû
()
yxL; (1.13.1).
Ïîëàãàÿ Lxz = , ñ ó÷¸òîì (1.10.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
()
()
yLxyzyzyzyxL
nn
=+++=
...;
2211
.
Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîé áèëèíåéíîé ôîðìå
()
yxL; â
()
nC îòâå÷àåò
òàêîé îïåðàòîð L , ÷òî
()
()
yLxyxL
≡
;
.
Ñêàçàííîå âûøå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû:
Òåîðåìà 1.13.1. Ôîðìóëà
()
()
yLxyxL
≡
;
(1.13.4)
óñòàíàâëèâàåò â
()
nC âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó áèëè-
íåéíûìè ôîðìàìè
()
yxL; è ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè L .
Îäíîçíà÷íîñòü (1.13.4) óêàçûâàåò íà íåçàâèñèìîñòü ýòîãî ñîîòâåò-
ñòâèÿ îò âûáîðà áàçèñà.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó ìîæíî ïðåäñòà-
42                                                                               Ãëàâà ïåðâàÿ


                 (
     L(x; y ) = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n y 1 +  )
               + (L x2 1
                     1     + L x + ... + L x
                              2
                              2
                                  2             2
                                                n
                                                    n
                                                        )y   2
                                                                 +
                                                                                     (1.13.2)
               ............................................
                 (
               + L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n y n . )
     Ïðèìåì âûðàæåíèÿ ñòîÿùèå â ñêîáêàõ çà êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî
âåêòîðà z :

     z 1 = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n ,
     z 2 = L12 x1 + L22 x 2 + ... + L2n x n ,
                                                                                     (1.13.3)
     .............................,
     z n = L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n .
     Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð                          z ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà x ñ
ïîìîùüþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà                L ñ ìàòðèöåé, òðàíñïîíèðîâàííîé ê
ìàòðèöå   L áèëèíåéíîé ôîðìû L(x; y ) (1.13.1).
           j
           i

     Ïîëàãàÿ     z = Lx , ñ ó÷¸òîì (1.10.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
     L(x; y ) = z 1 y 1 + z 2 y 2 + ... + z n y n = (Lx y ).
     Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîé áèëèíåéíîé ôîðìå                          L(x; y ) â C (n ) îòâå÷àåò
òàêîé îïåðàòîð       L , ÷òî L(x; y ) ≡ (Lx y ).
     Ñêàçàííîå âûøå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû:

     Òåîðåìà 1.13.1. Ôîðìóëà
     L(x; y ) ≡ (Lx y )                                                              (1.13.4)

óñòàíàâëèâàåò â      C (n ) âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó áèëè-
íåéíûìè ôîðìàìè L(x; y ) è ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè L .
     Îäíîçíà÷íîñòü (1.13.4) óêàçûâàåò íà íåçàâèñèìîñòü ýòîãî ñîîòâåò-
ñòâèÿ îò âûáîðà áàçèñà.
     Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó ìîæíî ïðåäñòà-

Страницы