Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 40 стр.

40                                                                Ãëàâà ïåðâàÿ

      (LM )−1 = M −1 L−1 ,                               (1.12.10)
â êîòîðîì ïåðâîíà÷àëüíûé ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâî-
ïîëîæíûé.
     Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Îáðàòíûé îïåðàòîð ïî îïðåäåëåíèþ
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó     (LM )−1 LM = E (n ) . Óìíîæèì îáå ÷àñòè òîæ-
                        M −1 , òîãäà (LM ) LMM −1 = E (n )M −1 , èëè
                                           −1
äåñòâà ñïðàâà íà

(LM )−1 L = M −1 . Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñïðàâà íà
L−1 , òîãäà (LM ) LL−1 = M −1 L−1 , èëè (LM ) = M −1 L−1 .
                 −1                          −1


    Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ñðàâíèòü ñ îïåðàöèåé íàäåâàíèÿ íîñêîâ è
áîòèíîê. Ïðè îïåðàöèè îáóâàíèÿ ìû ñíà÷àëà íàäåâàåì íîñêè è ïîòîì
áîòèíêè, ïðè îïåðàöèè ðàçóâàíèÿ áîòèíêè ñíèìàþò âíà÷àëå, à íîñêè
ïîòîì.
      Ïóñòü íåêîòîðûé îïåðàòîð          T â C (n ) ïåðåâîäèò âåêòîð x â âåê-
òîð x ′ , à ~x-â ~  x ′ , òî åñòü Tx = x ′ , à T~  x ′ . Åñëè ïðè ýòîì èìååòñÿ
                                                 x=~
äðóãîé îïåðàòîð S , ïåðåâîäÿùèé x â x , òî åñòü Sx = ~
                                                 ~              x , ðåçîííî çà-
äàòü âîïðîñ: êàêîé âèä èìååò îïåðàòîð S ′ , ïåðåâîäÿùèé x ′ â ~          x ′ , òî
åñòü S ′x ′ = x ′ ? Òàê êàê âåêòîðû x ′ è x ′ íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàííû-
              ~                                ~
ìè (òî åñòü òðàíñôîðìèðîâàííûìè îïåðàòîðîì      T ), îïåðàòîð S ′ ìîæ-
íî íàçâàòü òðàíñôîðìèðîâàííûì îïåðàòîðîì. ×òîáû âûðàçèòü S ′ ÷å-
ðåç èñõîäíûå îïåðàòîðû, çàìåòèì, ÷òî ~
                                     x ′ = T~
                                            x = TSx = TST −1 x′ , òî åñòü
      S ′ = TST −1 .                                                     (1.12.11)
      Â ïðèìåðå ñ îáóâàíèåì è ðàçóâàíèåì, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü T
êàê îïåðàöèþ íàäåâàíèÿ íîñêà, à S - êàê îïåðàöèþ åãî øòîïêè. Åñëè
                                                                 −1
íîñîê óæå íà íîãå, òî åãî íàäî ñíà÷àëà ñíÿòü, îïåðàöèÿ T              , çàòåì çàø-
òîïàòü   (S ) è, íàêîíåö, ñíîâà íàäåòü åãî (T ) .