Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

39Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
() ()
() ( ) ( )
()
()
+=+
+=+
⋅λ=λ⋅=⋅λ
=
.NLMLLNM
,LNLMNML
,LMMLML
,MNLNLM
(1.12.4)
Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð
()
nE ïåðåâîäèò êàæäûé
âåêòîð x â òîò æå ñàìûé âåêòîð:
()
xxnE
=
. (1.12.5)
Ìàòðèöà òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ëþáîì áàçèñå åñòü
()
()
()
=
≠
=δ=
.ji
,ji
nE
j
i
j
i
1
0
(1.12.6)
Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð L â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
()
nC è ïóñòü
xLx
′
=
, ãäå
x
′
åñòü ïðåîáðàçîâàííûé âåêòîð
x
. Òîãäà, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü «îáðàòíûé» îïåðàòîð
1−
L ñîîòíîøåíèåì
xLx
′
=
−
1
. (1.12.7)
Îáðàòíûé îïåðàòîð
1−
L èìååò î÷åâèäíûå ñâîéñòâà
()
nELLLL
==
−−
11
. (1.12.8)
Ìàòðèöà
1−
L ýòî ïðîñòî ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå L .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ ñóùåñòâóåò, à ýòî, â ñâîþ
î÷åðåäü, íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà L , à èìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå äîë-
æíî áûòü âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðèöå
L
, ýòî îç-
íà÷àåò, ÷òî å¸ äåòåðìèíàíò äîëæåí áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ.
Åñëè
()
nELM
=
, òî L è M íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè
îïåðàòîðàìè:
1−
=
LM
, à
1−
=
ML
. Ìàòðèöû âçàèìíî îáðàòíûõ îïå-
ðàòîðîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
() ()
j
i
k
i
j
k
k
i
j
k
LLLL
δ==
−−
11
. (1.12.9)
Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð, îáðàòíûé ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ LM ,
äà¸òñÿ âûðàæåíèåì
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                           39


     (LM )N = L(MN ),                   
     (λL ) ⋅ M = L ⋅ (λM ) = λ ⋅ (LM ),
                                                                        (1.12.4)
     L(M + N ) = LM + LN ,              
     (M + N )L = ML + NL.               

    Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð                  E (n ) ïåðåâîäèò êàæäûé
âåêòîð x â òîò æå ñàìûé âåêòîð:
     E (n )x = x .                                     (1.12.5)
    Ìàòðèöà òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ëþáîì áàçèñå åñòü

                     0 (i ≠ j ),
     E (n )i = δij = 
            j
                                                                         (1.12.6)
                     1 (i = j ).
    Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð            L â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) è ïóñòü
Lx = x ′ , ãäå x ′ åñòü ïðåîáðàçîâàííûé âåêòîð x . Òîãäà, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü «îáðàòíûé» îïåðàòîð               L−1 ñîîòíîøåíèåì
     x = L−1 x ′ .                                                       (1.12.7)
                                 −1
    Îáðàòíûé îïåðàòîð           L èìååò î÷åâèäíûå ñâîéñòâà
     L L = LL = E (n ) .
         −1          −1
                                                                         (1.12.8)
                     −1
    Ìàòðèöà L ýòî ïðîñòî ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå L .
    Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ ñóùåñòâóåò, à ýòî, â ñâîþ
î÷åðåäü, íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà             L , à èìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå äîë-
æíî áûòü âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðèöå                  L , ýòî îç-
íà÷àåò, ÷òî å¸ äåòåðìèíàíò äîëæåí áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ.
    Åñëè      LM = E (n ) , òî L è M íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè
                          −1              −1
îïåðàòîðàìè: M = L , à L = M                   . Ìàòðèöû âçàèìíî îáðàòíûõ îïå-
ðàòîðîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

     Lkj (L−1 )i = (L−1 )k Lki = δ ij .
               k          j
                                                                         (1.12.9)
     Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð, îáðàòíûé ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ                 LM ,
äà¸òñÿ âûðàæåíèåì

Страницы