Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

41Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
§1.13. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð
1. Ñâÿçü ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ áèëèíåéíûìè ôîðìàìè â
()
nC .
Âñÿêîìó îïåðàòîðó L îòâå÷àåò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
()
nC
áèëèíåéíàÿ ôîðìà
()
yxL;, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
()
()
yLxyxL
≡
; .
Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ
()
()
yLxyxL
≡
; óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
îïðåäåëÿþùèì áèëèíåéíóþ ôîðìó:
()
()()()()
zLyzLxzLyLxzyxL
+=+=+
,
()()()
yLxyLxyxL
λλλ
==
,
()
()()()()
LyzLxzLyLxzyxLz
+=+=+
,
()()()
LyxLyxyLx
µµµ
==
.
Ïîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü
()
yxL; áèëèíåéíàÿ ôîðìà â
()
nC . Ôèê-
ñèðóÿ â
()
nC áàçèñ
n
ee
,...,
1
è ïîëàãàÿ
i
i
exx
= , à
k
k
eyy
= çàïèøåì
()
yxL; â âèäå
()
....
...
...;
2211
2
2
222
2
121
2
1
1
212
1
111
1
nnn
n
n
n
n
n
nn
nn
yxLyxLyxL
yxLyxLyxL
yxLyxLyxLyxL
++++
+++++
++++=
.................................................
(1.13.1)
Ïðåäñòàâèì (1.13.1) â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïåðåïèñàâ åãî
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                              41

      §1.13. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð

     1. Ñâÿçü ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ áèëèíåéíûìè ôîðìàìè â               C (n ) .
     Âñÿêîìó îïåðàòîðó          L îòâå÷àåò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå C (n )
áèëèíåéíàÿ ôîðìà      L(x; y ), çàäàííàÿ ôîðìóëîé
     L(x; y ) ≡ (Lx y ).

     Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ            L(x; y ) ≡ (Lx y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
îïðåäåëÿþùèì áèëèíåéíóþ ôîðìó:
     (L(x + y ) z ) = (Lx + Ly z ) = (Lx z )+ (Ly z ),
     (Lλx y ) = (λLx y ) = λ (Lx y ) ,
     (z L(x + y )) = (z Lx + Ly ) = (z Lx )+ (z Ly ),
     (x Lµy ) = (x µLy ) = µ (x Ly ) .
     Ïîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü            L(x; y ) áèëèíåéíàÿ ôîðìà â C (n ) . Ôèê-
ñèðóÿ â   C (n ) áàçèñ e1 ,..., en è ïîëàãàÿ x = x i ei , à y = y k ek çàïèøåì
L(x; y ) â âèäå

     L(x; y ) = L11 x1 y 1 + L12 x1 y 2 + ... + L1n x1 y n +
              + L12 x 2 y 1 + L22 x 2 y 2 + ... + Ln2 x 2 y n +
                                                                       (1.13.1)
               .................................................
               + L1n x n y 1 + L2n x n y 2 + ... + Lnn x n y n .
     Ïðåäñòàâèì (1.13.1) â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïåðåïèñàâ åãî
ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Страницы