Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

38 Ãëàâà ïåðâàÿ
§1.12. Äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè
Ïóñòü L è M - îïåðàòîðû â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
()
nC .
Ñóììîé îïåðàòîðîâ L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
()
nC íà-
çûâàåòñÿ îïåðàòîð ML + , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð
x
â âåêòîð
MxLx + .
 ëþáîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðà ML + èìååò âèä
()
j
i
j
i
j
i
MLML +=+
. (1.12.1)
Ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðà
L
íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî
λ
åñòü îïåðàòîð,
ïåðåâîäÿùèé âåêòîð x â âåêòîð
Lxλ
, à åãî ìàòðèöà åñòü
()
j
i
j
i
LL λ=λ
. (1.12.2)
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îïåðàòîðîâ
L
è
M
â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
()
nC íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð LM , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð
x
â âåê-
òîð
()
MxL , òî åñòü ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñíà÷àëà
îïåðàòîðà M , à çàòåì îïåðàòîðà L .
Ïóñòü
k
k
ii
eMMe
= ;
j
j
kk
eLLe
= , (1.12.3)
òîãäà
j
k
i
j
kk
k
ii
eMLeLMLMe
==
èëè
()
k
i
j
k
j
i
MLLM =
. (1.12.4)
Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðà-
òîðîâ LM åñòü îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö L è M â óêàçàííîì
âûøå ïîðÿäêå. Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû, êàê è ìàòðèöû, â îáùåì ñëó÷àå
íå «êîììóòèðóþò»
MLLM ≠
, òî åñòü, ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ âëèÿåò íà
ðåçóëüòàò.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè îáû÷íûõ çàêîíîâ óìíîæåíèÿ
(êðîìå êîììóòàòèâíîãî!):
38                                                           Ãëàâà ïåðâàÿ


        §1.12. Äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè

      Ïóñòü       L è M - îïåðàòîðû â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) .
      Ñóììîé îïåðàòîðîâ L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) íà-
çûâàåòñÿ îïåðàòîð L + M , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåêòîð
 Lx + Mx .
     Â ëþáîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðà L + M èìååò âèä
        (L + M )ij    = Lij + M i j .                            (1.12.1)

      Ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðàL íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî λ åñòü îïåðàòîð,
ïåðåâîäÿùèé âåêòîð x â âåêòîð λLx , à åãî ìàòðèöà åñòü

        (λL )ij   = λLij .                                       (1.12.2)
      Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îïåðàòîðîâL è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
C (n ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð LM , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåê-
òîð L(Mx ), òî åñòü ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñíà÷àëà
îïåðàòîðà M , à çàòåì îïåðàòîðà L .
      Ïóñòü
        Mei = M ik ek ;           Lek = Lkj e j ,                (1.12.3)
òîãäà
        LMei = LM ik ek = Lkj M ik e j
èëè
        (LM )ij    = Lkj M ik .                                  (1.12.4)
      Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðà-
òîðîâ LM åñòü îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö L è M â óêàçàííîì
âûøå ïîðÿäêå. Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû, êàê è ìàòðèöû, â îáùåì ñëó÷àå
íå «êîììóòèðóþò» LM ≠ ML , òî åñòü, ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ âëèÿåò íà
ðåçóëüòàò.
     Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè îáû÷íûõ çàêîíîâ óìíîæåíèÿ
(êðîìå êîììóòàòèâíîãî!):

Страницы