Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

36 Ãëàâà ïåðâàÿ
Ôèêñèðóåì áàçèñ
n
e,...,e,e
21
è îïèøåì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà L â
êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü
j
j
ii
eLLe
=
,
()
n,...,,i 21
=
. (1.11.2)
Òîãäà äëÿ êàæäîãî x
()
j
j
i
i
i
i
i
i
eLxLexexLLx
===
, (1.11.3)
òàê ÷òî, ïîëàãàÿ yLx = , à
j
j
eyy
= çàïèøåì
ij
i
j
xLy
= . (1.11.4)
Ìàòðèöà
j
i
L
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà L â áàçèñå
n
e,...,e,e
21
.
Ïðèìåðû.
1.11.1. Ïóñòü
()
3R òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, L - îïåðàòîð ïðîåê-
òèðóþùèé âåêòîðû
()
3R íà ïëîñêîñòü XY . Ïóñòü
321
,,
eee - åäèíè÷-
íûå âåêòîðû íàïðàâëåííûå ïî îñÿì êîîðäèíàò ZYX ,, , òîãäà
11
eLe = ,
22
eLe = , 0
3
=Le ,
òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà L â äàííîì áàçèñå
321
,,
eee èìååò âèä
000
010
001
.
1.11.2. Ïóñòü R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè
1−≤ n
(ñì. §1.2
ï.6), L - îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
dt
d
,
() ()
tPtLP
′
=
.
Âûáåðåì â
R
áàçèñ
36                                                                       Ãëàâà ïåðâàÿ

        Ôèêñèðóåì áàçèñ         e1 , e2 ,..., en è îïèøåì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà L â
êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü
        Lei = Lij e j , (i = 1,2 ,..., n ) .                                    (1.11.2)
        Òîãäà äëÿ êàæäîãî x
                     ( )
        Lx = L x i ei = x i Lei = x i Lij e j ,                                 (1.11.3)

òàê ÷òî, ïîëàãàÿ          Lx = y , à y = y j e j çàïèøåì
        y j = Lij x i .                                                         (1.11.4)

        Ìàòðèöà           Lij íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà L â áàçèñå
e1 , e2 ,..., en .

        Ïðèìåðû.
        1.11.1. Ïóñòü      R(3) òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, L - îïåðàòîð ïðîåê-
òèðóþùèé âåêòîðû             R(3) íà ïëîñêîñòü XY . Ïóñòü e1 , e2 , e3 - åäèíè÷-
íûå âåêòîðû íàïðàâëåííûå ïî îñÿì êîîðäèíàò                  X , Y , Z , òîãäà
        Le1 = e1 ,          Le2 = e2 ,    Le3 = 0 ,
òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà            L â äàííîì áàçèñå e1 , e2 , e3 èìååò âèä

         1 0 0
              
         0 1 0 .
         0 0 0
              
        1.11.2. Ïóñòü      R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n − 1 (ñì. §1.2

                                                     , LP (t ) = P ′(t ) .
                                                  d
ï.6),   L - îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
                                                  dt
        Âûáåðåì â         R áàçèñ

Страницы