Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

35Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
,...e,...,e,e
n
21
, (1.10.17)
òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
∑
∞
=
=
1i
i
i
exx
, (1.10.18)
ãäå ñóììèðîâàíèå ðÿäà (àíàëîã (1.10.6)) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå
0
1
=−
∑
∞
=
∞→
i
i
i
n
exx
lim . (1.10.19)
2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ
n
x
òàêîâà, ÷òî
0=−
∞→
nm
n,m
xx
lim , (1.10.20)
òî ñóùåñòâóåò âåêòîð
0
x , ê êîòîðîìó
n
x
ñõîäèòñÿ (àíàëîã êðèòåðèÿ ñõî-
äèìîñòè Êîøè):
0
0
=−
∞→
xx
n
n
lim . (1.10.21)
Ïðîñòðàíñòâî
()
∞
C , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2, ïåðå÷èñ-
ëåííûì âûøå, íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Âñå ãèëüáåðòî-
âû ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû äðóã äðóãó.
§1.11. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå
L
, ïåðåé-
ä¸ì òåïåðü ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ  ïîíÿ-
òèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ (îòîáðàæåíèÿ).
Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì L â
()
nC íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî (çàêîí, îòî-
áðàæåíèå), ïî êîòîðîìó êàæäîìó âåêòîðó x ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå
íåêîòîðûé âåêòîð Lx (îáðàç x ), ïðè÷¸ì
()
LyLxyxL
+=+
, (1.11.1à)
() ()
xLxL
λ=λ
. (1.11.1á)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                         35


     e1 , e2 ,..., en ,... ,                                           (1.10.17)
òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà           x ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
                ∞
     x = ∑ x i ei ,                                                    (1.10.18)
            i =1
ãäå ñóììèðîâàíèå ðÿäà (àíàëîã (1.10.6)) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå
                    ∞
     lim x − ∑ x i ei = 0 .                                            (1.10.19)
     n →∞
                    i =1

     2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ            xn òàêîâà, ÷òî
      lim xm − xn = 0 ,                                                (1.10.20)
     m ,n → ∞

òî ñóùåñòâóåò âåêòîð           x0 , ê êîòîðîìó xn ñõîäèòñÿ (àíàëîã êðèòåðèÿ ñõî-
äèìîñòè Êîøè):
     lim x n − x0 = 0 .                                                (1.10.21)
     n →∞

     Ïðîñòðàíñòâî C (∞ ) , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2, ïåðå÷èñ-
ëåííûì âûøå, íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Âñå ãèëüáåðòî-
âû ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû äðóã äðóãó.



      §1.11. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû

     Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L , ïåðåé-
ä¸ì òåïåðü ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ – ïîíÿ-
òèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ (îòîáðàæåíèÿ).
     Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì   L â C (n ) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî (çàêîí, îòî-
áðàæåíèå), ïî êîòîðîìó êàæäîìó âåêòîðó x ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå
íåêîòîðûé âåêòîð Lx (îáðàç x ), ïðè÷¸ì
     L(x + y ) = Lx + Ly ,                                  (1.11.1à)

     L(λx ) = λL(x ) .                                                 (1.11.1á)

Страницы