Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 34 стр.

34                                                         Ãëàâà ïåðâàÿ

åãî ïðîîáðàç       x , òî åñòü òîò åäèíñòâåííûé âåêòîð x , äëÿ êîòîðîãî
ϕ(x ) = x ′ , îáëàäàåò, î÷åâèäíî, òåìè æå ñâîéñòâàìè (1.10.13) è ÿâëÿåòñÿ
èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ     C ′, C .
       Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâàõ C è C ′ çàäàíû áàçèñû è òåì ñàìûì êîîð-
äèíàòû    x i è x ′i . Òîãäà èçîìîðôèçì ìîæåò áûòü çàäàí óðàâíåíèÿìè âèäà
       x ′i = Aij x j .                                         (1.10.14)

       1.10.3. Àíòèèçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ
     Åñëè âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (1.10.12) óäîâëåòâîðÿåò
âìåñòî (1.10.13) óñëîâèÿì

       ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),
                                    
       ϕ(λx ) = λ ϕ(x ),                                       (1.10.15)

       (ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C , 
òî   ϕ íàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ C ,C ′ . Îáðàòíîå îòî-
áðàæåíèå     ϕ −1 òàê æå îêàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì.
     Åñëè â C è C ′ çàäàíû áàçèñû, òî àíòèèçîìîðôèçì ìîæåò áûòü
çàäàí óðàâíåíèåì âèäà
       x ′i = Aij x j .                                         (1.10.16)

       Ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî C ñîñòîèò èç âåêòîðîâ ïðî-
ñòðàíñòâà C ′ . Òîãäà C íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C ′ , åñëè ñëîæå-
íèå, óìíîæåíèå, óìíîæåíèå íà ÷èñëà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â C îï-
ðåäåëåíû òàê æå, êàê â C ′ .


       1.10.4. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
     Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî         C (∞ ) ,
îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
       1. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ â    C (∞ )