Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

32 Ãëàâà ïåðâàÿ
Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
()
yxyx
++
.
()()()()()
yyxyyxxxyxyx
+++=++
. (1.10.7)
Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.10.3) ÷ëåíû
()
xx è
()
yy äåéñòâèòåëüíû,
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé äîëæíà áûòü è ñóììà
()()
xyyx
+
.
Ðàññìàòðèâàÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
()() ()()
xyiyxiixyyix
+−=+
,
ïîëó÷èì ïðàâèëî, çàìåíÿþùåå êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
()()
xyyx
=
. (1.10.8)
Èç ïðèâåä¸ííûõ âûøå ñâîéñòâ 1  4 ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
Êîøè
()
yxyx
⋅≤
. (1.10.9)
Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (1.10.6) ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âåê-
òîðó
x
ñèñòåìó èç
n
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
()
n
x,...,x,x
21
. Ïðè ýòîì íå
ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð è åñòü ýòà ñèñòåìà ÷èñåë! Åñëè ìû âîçüì¸ì
äðóãîé áàçèñ
n
e,...,e,e
′′′
21
, òî ïîëó÷èì äëÿ òîãî æå ñàìîãî âåêòîðà x
äðóãîå ðàçëîæåíèå
∑
=
′
′
=
n
i
i
i
exx
1
. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî çíà÷å-
íèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà çàâèñÿò êàê îò çíà÷åíèÿ ñàìîãî âåêòîðà, òàê è îò
âûáîðà áàçèñà. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñèñòåì
()
n
x,...,x,x
21
,
()
n
x,...,x,x
′′′
21
,, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì áàçèñàì, ïîëíîñòüþ
õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì x (è õàðàêòåðèçóåò åãî). Ýòó ñîâîêóïíîñòü è
ñëåäóåò îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â
()
nC , êàê è â äåéñòâèòåëüíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå, ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû
n
e,...,e,e
21
, òî
åñòü òàêèå, ÷òî
32                                                                               Ãëàâà ïåðâàÿ

          Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå          (x + y x + y ).
          (x + y x + y ) = (x x ) + (x y ) + (y x ) + (y y ) .        (1.10.7)

          Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.10.3) ÷ëåíû (x x ) è (y y ) äåéñòâèòåëüíû,
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé äîëæíà áûòü è ñóììà
(x y ) + (y x ).
          Ðàññìàòðèâàÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
          (ix y ) + (y ix ) = −i(x y ) + i(y x ) ,
ïîëó÷èì ïðàâèëî, çàìåíÿþùåå êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ

          (x y ) = (y x ).                                                            (1.10.8)
    Èç ïðèâåä¸ííûõ âûøå ñâîéñòâ 1 – 4 ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
Êîøè

          (x y ) ≤ x ⋅ y .                                                            (1.10.9)
          Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (1.10.6) ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âåê-
                                                        (   1
òîðó x ñèñòåìó èç n êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x , x ,..., x . Ïðè ýòîì íå
                                                                  2      n
                                                                             )
ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð è åñòü ýòà ñèñòåìà ÷èñåë! Åñëè ìû âîçüì¸ì
äðóãîé áàçèñ        e1′ , e2′ ,..., en′ , òî ïîëó÷èì äëÿ òîãî æå ñàìîãî âåêòîðà x
                                  n
äðóãîå ðàçëîæåíèå            x = ∑ x i′ei′ . Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî çíà÷å-
                                 i =1
íèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà çàâèñÿò êàê îò çíà÷åíèÿ ñàìîãî âåêòîðà, òàê è îò
âûáîðà          áàçèñà.      Ñîâîêóïíîñòü            âñåõ       ñèñòåì       (x , x
                                                                                 1    2
                                                                                          ,..., x n ) ,
(x , x 2′ ,..., x n′ ) , , ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì áàçèñàì, ïîëíîñòüþ
     1′


õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì x (è õàðàêòåðèçóåò åãî). Ýòó ñîâîêóïíîñòü è
ñëåäóåò îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì.
          Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â         C (n ) , êàê è â äåéñòâèòåëüíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå, ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû                            e1 , e2 ,..., en , òî
åñòü òàêèå, ÷òî

Страницы