Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

33Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
()
ikki
ee δ=
, (1.10.9)
ãäå
()
()
=
≠
=δ
.ki
,ki
ik
1
0
(1.10.10)
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííû-
ìè áàçèñàìè, è âñå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõ áàçèñîâ.
Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà, çàìåòèì, ÷òî åñëè
i
i
exx
= , òî
()
xex
i
i
=
è äëÿ ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà
n
e,...,e,e
21
èìååì:
()
i
ii
eyxyx
+=+
;
i
i
exx
λ=λ ;
()
∑
=
=
n
i
ii
yxyx
1
. (1.10.11)
1.10.2. Èçîìîðôèçì êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ
Ïóñòü íàì çàäàíû äâà êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâà
C
è
C
′
, è ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå) ϕ , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó âåê-
òîðó
x
ïðîñòðàíñòâà
C
âåêòîð
x
′
ïðîñòðàíñòâà
C
′
, êîòîðîå ìû áóäåì
çàïèñûâàòü êàê
CC
′
→ϕ :
. (1.10.12)
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ, ïðè
êîòîðîì êàæäûé âåêòîð
x
′
ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó, è òîëüêî îäíîìó, âåê-
òîðó x .
Åñëè
ϕ
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
()()()
() ()
()()
()()
=ϕϕ
λϕ=λϕ
ϕ+ϕ=+ϕ
′
,yxyx
,xx
,yxyx
CC
(1.10.13)
òî ϕ íàçûâàþò èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ
C,C
′
, êîòîðûå â ýòîì ñëó-
÷àå íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ÑÑ: →
′
ϕ
−
1
, ñîïîñòàâëÿþùåå âåêòîðó
x
′
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                  33

      (e e ) = δ
        i   k      ik   ,                                                      (1.10.9)
ãäå

             0 (i ≠ k ),
      δ ik =                                                                  (1.10.10)
             1 (i = k ).
     Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííû-
ìè áàçèñàìè, è âñå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõ áàçèñîâ.
      Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà, çàìåòèì, ÷òî åñëè                        x = x i ei , òî
x i = (ei x ) è äëÿ ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà e1 , e2 ,..., en èìååì:

      x + y = (x i + y i )ei ; λx = λx i ei ;   (x y ) = ∑ x y
                                                         n
                                                               i   i
                                                                       .       (1.10.11)
                                                        i =1


      1.10.2. Èçîìîðôèçì êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ
      Ïóñòü íàì çàäàíû äâà êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâà C
è C ′ , è ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå)
                                  ϕ , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó âåê-
òîðó x ïðîñòðàíñòâà C âåêòîð x ′ ïðîñòðàíñòâà C ′ , êîòîðîå ìû áóäåì
çàïèñûâàòü êàê
      ϕ : C → C′ .                                           (1.10.12)
      Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ, ïðè
êîòîðîì êàæäûé âåêòîð x ′ ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó, è òîëüêî îäíîìó, âåê-
òîðó x .
     Åñëè ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

      ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),
                                  
      ϕ(λx ) = λϕ(x ),                                                        (1.10.13)
      (ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C , 
òî ϕ íàçûâàþò èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ             C ,C ′ , êîòîðûå â ýòîì ñëó-
÷àå íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.
      Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå      ϕ −1 : Ñ′ → Ñ , ñîïîñòàâëÿþùåå âåêòîðó x ′

Страницы