Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 30 стр.

30                                                                      Ãëàâà ïåðâàÿ

                            G (t ) = e − t , (a,b ) = (− ∞, ∞ ) , òî â ðåçóëüòàòå îð-
                                         2
     Åñëè ïîëîæèòü

òîãîíàëèçàöèè áàçèñà            1, t , t 2 ,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà:

     H n (t ) = (− 1) e t
                     n      2


                                dt n
                                    ( )
                                d n −t 2
                                     e .                                    (1.9.21)

     Íîðìèðîâêà:
      ∞
                                    0 ïðè m ≠ n,
      ∫ e −t 2
               H   (t )H   (t )dt =  n                                     (1.9.22)
                                    2 n! π ïðè m = n.
                 m       n
     −∞




      §1.10. Êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà

      1.10.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ

     Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿÿñü åñòåñòâåííûì îáîá-
ùåíèåì äåéñòâèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ
ðîëü ïðè èçó÷åíèè ïðèëîæåíèé òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Â
ñèëó ýòîé âàæíîñòè ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ñâîéñòâà êîìïëåêñíîãî åâê-
ëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà.

     Ïóñòü íàì çàäàíî ìíîæåñòâî C , ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ x, y ,...
íàçûâàåìûõ âåêòîðàìè è íàäåë¸ííîå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
     1. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìàìè ëèíåé-
íîãî ïðîñòðàíñòâà 1 è 2:
     x + y = y + x;               (x + y ) + z = x + (y + z ) .
    2. Ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð θ , ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîðîâ x , x + θ = x .
Ïðè ëþáûõ x , y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð z òàêîé, ÷òî
     x+z= y.
     3. Âåêòîðû ìîæíî óìíîæàòü íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà (â ýòîì ñîñòîèò
îòëè÷èå êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ îò äåéñòâèòåëüíûõ åâê-
ëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ), ïðè÷¸ì óìíîæåíèå íà ÷èñëà îáëàäàþò îáû÷íû-
ìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè:
     α (x + y ) = αx + αy ;               (α + β )x = αx + βx ;