Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

29Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà áûëà íàéäåíà Ðîäðèãîì.
()
()
n
n
n
n
n
t
dt
d
n
tP
1
!2
1
2
−=
. (1.9.16)
Åñëè âåêòîðû îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà (1.9.15) çàìåíèòü íà âåêòîðû
k
k
k
e
e
e
=
′
, (1.9.17)
ìû ïîëó÷èì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ìû íà÷í¸ì íå ñ ïåðâîãî âåê-
òîðà, à ñ äðóãîãî, ìû ïîëó÷èì äðóãóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ.
Çàìå÷àíèå.
Áèëèíåéíûå ôîðìû íà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé â àíàëè-
çå ÷àñòî çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì
() ()( ) () () ()
∫
=
b
a
dttQtPtGtQtP
, , (1.9.18)
ãäå
()
tG ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ îò
()
bat ,
∈
, íàçûâàåìàÿ âåñîì áèëè-
íåéíîé ôîðìû.  ÷àñòíîñòè, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå
()
1
=
tG .
Åñëè ïîëîæèòü
()
2
1
1
t
tG
−
=
,
()( )
1,1,
−=
ba
, òî â ðåçóëüòàòå îð-
òîãîíàëèçàöèè áàçèñà
12
,...,,,1
−n
ttt
ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà:
()
()
()
()
()
tnt
dt
d
t
n
n
tT
n
n
n
n
n
arccoscos11
!2
!2
2
1
22
=−−
−
=
−
. (1.9.19)
Íîðìèðîâêà:
() ()
∫
−
==
≠=
≠
=
−
1
1
2
.0
,0
2
,0
1
nm
nm
nm
dt
t
tTtT
nm
ïðè
ïðè
ïðè
π
π
(1.9.20)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                            29

Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà áûëà íàéäåíà Ðîäðèãîì.

                 1 dn 2
       Pn (t ) = n
                2 n! dt n
                             (n
                          t −1 .      )                                                   (1.9.16)

       Åñëè âåêòîðû îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà (1.9.15) çàìåíèòü íà âåêòîðû
               ek
       ek′ =      ,                                                                       (1.9.17)
               ek
ìû ïîëó÷èì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
      Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ìû íà÷í¸ì íå ñ ïåðâîãî âåê-
òîðà, à ñ äðóãîãî, ìû ïîëó÷èì äðóãóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ.
      Çàìå÷àíèå.
      Áèëèíåéíûå ôîðìû íà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé â àíàëè-
çå ÷àñòî çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì
                       b
       (P(t ), Q(t )) = ∫ G(t )P(t )Q(t )dt ,                                             (1.9.18)
                       a

ãäå   G (t ) ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ îò t ∈ (a, b ) , íàçûâàåìàÿ âåñîì áèëè-
íåéíîé ôîðìû.  ÷àñòíîñòè, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå                            G (t ) = 1 .

                           G (t ) =                , (a , b ) = (− 1,1) , òî â ðåçóëüòàòå îð-
                                           1
       Åñëè ïîëîæèòü
                                          1− t 2
òîãîíàëèçàöèè áàçèñà 1, t , t
                                  2
                                      ,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà:

       Tn (t ) =
                 (− 2 ) n!
                       n
                             1− t 2
                                       dn
                                               (
                                            1− t 2     )n−
                                                             1
                                                             2   = cos(n arccos t ) . (1.9.19)
                   (2n )!              dt n
       Íîðìèðîâêà:

                         0 ïðè m ≠ n,
          Tm (t )Tn (t ) π
                         
        1

       ∫−1 1 − t 2 dt =  2 ïðè m = n ≠ 0,                                                (1.9.20)
                         
                         π ïðè m = n = 0.

Страницы