Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 27 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                            27

òî òàêîå n - ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ                    n - ìåðíûì åâêëèäîâûì ïðî-
ñòðàíñòâîì.
     Ïðèìåð 1.9.1. Ïóñòü         R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå
÷åì n − 1 . Îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê
                          1
     (P(t ), Q(t )) = ∫ P(t )Q(t )dt .
                         −1

                                                2       n −1
     Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåêòîðû 1, t , t ,..., t îáðàçóþò áàçèñ, îðòîãîíà-
ëèçèðóåì åãî, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàììà-Øìèäòà.
     Ïîëîæèì        e1 = 1 è ïðîâåä¸ì ïëîñêîñòü ÷åðåç âåêòîðû e1 è t . Íàé-
ä¸ì â ýòîé ïëîñêîñòè âåêòîð             e2 îðòîãîíàëüíûé ê âåêòîðó e1 . Âåêòîð
e2 áóäåì èñêàòü â âèäå e2 = f 2 + αe1 , ãäå f 2 = t , à α âûáèðàåòñÿ òàê,
÷òîáû ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå             (e2 , e1 ) = 0 .
     (e2 , e1 ) = ( f 2 + αe1 , e1 ) = ( f 2 , e1 ) + α (e1 , e1 ) = 0 ,
îòêóäà ïîëó÷àåì

     α =−
              ( f 2 , e1 ) .
              (e1 , e1 )
     Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè
ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå è îòëè÷íûå îò íóëÿ âåêòîðû                           e1 , e2 ,..., ek −1 , òîã-
äà âåêòîð   ek ìîæåò áûòü íàéäåí â âèäå
     ek = f k + λ1e1 + ... + λk −1ek −1 ,                                               (1.9.13)

à êîýôôèöèåíòû        λi íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

     λi = −
              ( f k , ei ) .                                                            (1.9.14)
              (ei , ei )
     Âåðí¸ìñÿ ê îïðåäåëåíèþ âåêòîðà                 e2 .