Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 25 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                    25

     Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (óäîâ-
ëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì):
       1.   (x , y ) = (y , x ).                                               (1.9.1)
       2. (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z ) .                                (1.9.2)

       3.   (αx , y ) = α(x , y ) .                                            (1.9.3)

       4. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííî: òî åñòü åñëè                 (x , y ) = 0
ïðè ôèêñèðîâàííîì x è ëþáîì y èç L , òî x = θ .
     Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî x , y , z - ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû ïðîñòðàí-
ñòâà   L.
     Èòàê, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå                 (x , y ) åñòü ñèììåòðè÷íàÿ, íåâûðîæ-
äåííàÿ, áèëèíåéíàÿ ôîðìà.
       Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå               L ââåäåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
        (x , y ) = g (x , y ) .                                                (1.9.4)
       Ïðåäïîëàãàÿ ïðîñòðàíñòâî n -ìåðíûì, âîçüì¸ì â í¸ì ïðîèçâîëü-
íûé áàçèñ       e1 , e2 ,..., en . Åñëè ïîëîæèòü
                n                   n
        x = ∑ x i ei , y = ∑ y k ek ,                                          (1.9.5)
               i =1                k =1
òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàïèøåòñÿ â êîîðäèíàòàõ òàê
        (x , y ) = g (x , y ) = ∑ x i ei ∑ y k ek = ∑∑ (ei , ek )x i x k   =

        = ∑∑ g ik x i x k .
       Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà ïåðåïèøåì ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî òàê
        (x , y ) = g (x , y ) = g ik x i x k .                                 (1.9.6)

       Êîýôôèöèåíòû               g ik áèëèíåéíîé ôîðìû g (x , y ) â äàííîì áàçèñå
e1 , e2 ,..., en , ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîé ôîðìû íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ,
òî åñòü èõ ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè
        (ei , ek ) = g ik ,                                                    (1.9.7)

ãäå    g ik = g ki . Ðàâåíñòâà (1.9.7) ñîñòàâëÿþò òàáëèöó óìíîæåíèÿ áàçèñ-