Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 24 стр.

24                                                           Ãëàâà ïåðâàÿ


      (a + b )′ = a ′ + b′ ,                                     (1.7.1)
à äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé λ áóäóò ñîáëþäåíû óñëîâèÿ

      (λa )′ = λa ′ ,                                            (1.7.2)

ãäå øòðèõîì îòìå÷åí îáðàç â    R(2n ) ýëåìåíòà èç C (n ) .

      §1.8. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî
                                                                     ~
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî        L , à L -íå-
êîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èçL.
                ~
      Ìíîæåñòâî L â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñò-
ðàíñòâîì (ïîäïðîñòðàíñòâîì), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
                           ~                                     ~
      1) äëÿ ëþáûõx , y èç L èõ ñóììà x + y òàêæå ïðèíàäëåæèò L ;
                         ~                         ~
     2) äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáîãî ÷èñëà α , αx ∈ L .
             ~
     Ïóñòü L ïîäïðîñòðàíñòâî â L . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è
óìíîæåíèÿ èõ íà ÷èñëà, çàäàííûå â L , áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðèìåíè-
                                              ~
òåëüíî ëèøü ê òåì ýëåìåíòàì, êîòîðûå âõîäÿò â L . Òîãäà ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå òåîðåìû:
      Òåîðåìà 1.8.1. Â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå
                                          L êàæäîå ëèíåéíîå ïîä-
             ~
ïðîñòðàíñòâî L ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.
      Òåîðåìà 1.8.2. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ äàí-
íîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
                              ~
      Â ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî L âõîäèò íóëåâîé âåêòîð θ .

      §1.9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

      Ïóñòü   L - äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ââåä¸ì â ïðî-
ñòðàíñòâå L îïåðàöèþ ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ.
     Ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ïàðå âåêòî-
ðîâ x , y èç L äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ (x , y ) è íà-
çûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà x íà âåêòîð y .