Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 23 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                 23

ñðàâíåíèþ ñ ðàçíîîáðàçèåì âåêòîðîâ, âõîäÿùèõ â ýòî ïðîñòðàíñòâî, â
êîòîðîì äâà âåêòîðà ìîãóò îêàçàòüñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.
     Â äàííîé ñèòóàöèè ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè ìíî-
æèòåëÿìè.
     Óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî îïðåäåëèòü òàê,
÷òî ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ â
îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî.
     Ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà, åñëè îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå ãåî-
ìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
     Ïóñòü a - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð íà ïëîñêîñòè îòëîæåííûé èç íà-
                          α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ ) - êîìïëåêñíûé ìíî-
÷àëà êîîðäèíàò. Ïóñòü äàëåå
æèòåëü. Ïîâåðí¸ì âåêòîð a âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ è óì-
íîæèì íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ρ . Ïîëó÷åííûé âåêòîð îáîçíà÷èì ÷å-
ðåç b è ïîëîæèì αa = b . Ñêëàäûâàòü âåêòîðû áóäåì ïî ïðåæíåìó ïî
ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà.
     Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âñå àêñèîìû ëè-
íåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî ñàìè
êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè è ÷òî ñëîæå-
íèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a îïðåäå-
ëåíû òàê æå, êàê îáû÷íî îïðåäåëÿþò ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è
óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó-
÷àå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû, òàê êàê îíè ñïðàâåä-
ëèâû äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òåïåðü îäèí íåíóëåâîé âåêòîð îáðàçóåò
ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó, à ëþáûå äâà âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû
(óìíîæåíèå âêëþ÷àåò ïîâîðîò). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå êîìïëåêñ-
íîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì.
     Ìû ïîêàçàëè, ÷òî îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî è äâó-
ìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîñòðîèòü èç îäíèõ è òåõ
æå ýëåìåíòîâ, à èìåííî, èç âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè, ïðè÷¸ì ñëîæåíèå âåê-
òîðîâ áóäåò îïðåäåëåíî îäèíàêîâî â îáåèõ ñëó÷àÿõ. Óìíîæåíèå îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó, âñëåäñòâèå ðàçëè÷èÿ ìíîæèòåëåé.
     Íà îñíîâàíèè ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà, ìû ìîæåì ñôîðìó-
ëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
      Òåîðåìà 1.7.1. Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî   C (n ) ðàçìåðíî-
ñòè  n ìîæíî âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàçèòü íà äåéñòâèòåëüíîå ëèíåé-
íîå ïðîñòðàíñòâî R (2n ) òàê, ÷òî ñîáëþäàþòñÿ óñëîâèÿ